Nivele critice II

.  O a doua carte, scrisa de A. V. Jirmunskii & V. I. Kuzmin, dedicata nivelelor critice de la curbele de crestere ale sistemelor biologice, a aparut in 1990, la ed. Nauka, Leningrad. Titlul: Critical levels in the development of natural systems (o varianta a aparut si in lb. engleza) sau, Критические уровни в развитии природных систем. Cartea, in mare urmareste cam acelasi traseu de idei ca si cartea mai veche, aparuta in 1982, a carei traducere se afla pe acest forum.
.  Totusi, dupa 8 ani, s-au adunat suficiente materiale si autorii au procedat la o serie de modificari fata de vechea editie. In mod deosebit mi-a atras atentia capitolul 3. din noua carte si prezint in acest topic traducerea lui.



.  In acest capitol, pe baza analizei proprietatilor ecuatiilor de crestere, au fost gasite niste constante critice care, transpuse pe un model ( o modelare) de crestere, formeaza o ierarhie de constante critice, [care] delimiteaza domeniile in care se conserva caracteristicile sistemelor, pe diferite nivele ierarhice. La baza acestei ierarhii stau functiile puterilor numarului lui Neper (e):
...(1/e)^1/e, 1/e, 1, 0, 1, e, e^e sau exp(e), e^(exp(e))....
.  Conditiile de sincronizare ale granitelor critice determina celula dezvoltarii. In urmatoarele capitole analiza uriasului volum (de cazuri) de crestere de sisteme arata ca ierarhia constantelor critice si sincronizarea lor evidentiaza o importanta informatie asupra legitatilor de formare a ritmurilor de timp si spatiu (spatiotemporale), ca si a structurilor sistemelor naturale de diverse nivele ierarhice.



.  S-ar putea oare, pe baza ecuatiei de crestere, determina restructurarile, punctele critice, pe baza simptomelor morfofunctionale sau a (pe baza) rezultatelor schimbarii starilor de faza? Avand modelul de crestere, s-ar putea determina momentul cand in sistem se vor produce transformarile calitative? Si, in plus, cunoscand pozitia unui punct critic, cum sa se determine pozitiile altor puncte critice, cu rangul lor?
.  Pentru a raspunde acestor intrebari vom examina proprietatile solutiei ecuatiei de crestere in forma sa particulara (2.4) apoi vom trece la generalizari, adica vom cerceta ecuatia:
la k> 0, τ> 0. Vom cauta solutia acestei ecuatii sub forma (2.13), unde z= u + iv.
.  De aici, ecuatia caracteristica are forma:
sau,
Conform formulei lui Euler,
Atunci,

Separand partea reala si partea imaginara, obtinem:
.  Pentru procesele de crestere fara oscilatii v= 0, traiectoria cresterii are forma reprezentata in fig. 14.


Fig. 14  Rezolvarea ecuatiei (3.1) pentru v= 0;  Fig. 15  Rezolvarea ecuatiei (3.1) la u<0, v≠o  

Fig. 16  Rezolvarea ecuatiei (3.1) cu radacini pseudopozitive (u>0, v≠o) - domeniu al regimilui interzis;
Fig/ 17  Rezolvarea grafica a ecuatiei (3.5) 

La v≠ 0 si u< 0 se realizeaza un regim oscilant (fluctuant) de amplitudine exponential descrescatoare (fig. 15), iar la v≠ 0 si u> 0 (aceste radacini se numesc pseudopozitive) oscilatiile au o amplitudine exponential crescatoare (fig. 16). Pentru procese de crestere fara fluctuatii, din (3.3) obtinem,
.  Rezolvarea grafica a acestei ecuatii se da in fig. 17. Se obtine aici o singura solutie si e determinata de marimea kτ. De aici, pentru v= 0, exista un singur regim exponential de crestere (u>0):
Daca v≠ 0 si u> 0, atunci in sistem se vor produce oscilatii cu amplitudine exponential crescatoare, care sunt capabile sa distruga orice sistem. De aici [rezulta ca], pentru garantarea unei cresteri stabile e necesar ca sistemul sa se dezvolte intr-un domeniu, in care se realizeaza o crestere exponentiala dar din care [sa] lipseasca oscilatiile cu amplitudine exponential crescatoare. [Acest domeniu] il gasim in spatiul parametrilor ecuatiei (3.1) , unde acest lucru e posibil.
.  Din (3.4):
sau, dupa logaritmare,
.  Intrucat logaritm din numar negativ nu exista , valorile u> 0 la v≠ 0 pot sa apa numai in intervalele vτ de la π la 2π, de la 3π la 4π, etc. (fig. 18). In felul acesta conf. ecuatiei (3.6), cel putin in domeniul 0< v∙τ >π, lipsesc radacinile ecuatiei caracteristice cu partea reala pozitiva si coefricient nenul al partii imaginare.


Fig. 18  Domeniile solutiilor ecuatiei (3.6), unde pot exista radacini u>0, v≠o (zonele hasurate - unde nu exista u>0, v≠o)
.  Impartind (3.3) la (3.4) obtinem,
.  De aici pornind pentru aparitia radacinilor cu u> 0, trebuie sa fie indeplinita conditia
Totodata [trebuie ca si] vτ≠ 0 si ctg(vτ)< 0. Cazul limita (de granita) corespunde cu aparitia radacinilor cu parti reale pozitive la ctg(vτ)= 0, de unde (rezulta ca) in domeniile in care exista radacini pseudopozitive de la π la 2π, de la 3π la 4π, s.am.d., aceasta conditie da:
Din (3.6) uτ≥ 0, corespunde conditiei,
sau, considerand  (3.7) pentru cazul de granita,
In felul acesta,
este prima valoare incepand cu care in sisem apar oscilatii cu amplitudine crescatoare. Inlocuind aceasta valoare in ec. (3.5), obtinem:
care, dupa rezolvarea grafica sau numerica, da:
.  Aceasta conditie ne arata ca in spatiul parametrilor sistemului (3.1) se afla granita (3.8 ), mai jos de care se realizeaza exclusiv crestere exponentiala, iar mai sus (de ea- granita) in sistem apar oscilatii cu amplitudine exponential crescatoare (fig. 19).


Fig. 19  Domeniul cresterii exponentiale (I) si domeniul instabil (II)
Fig. 20  Schema de stabilire a momentului terminarii cresterii exponentiale la/cu schimbarea intarzierii
Atata timp cat caracteristicile sistemului aflat in dezvoltare (crestere) se gasesc in domeniul I din fig. 19, e permisa o crestere exponentiala stabila. Traversarea granitei (3.8 ) in domeniul II din fig. 19 conduce la aparitia in solutia ecuatiei (2.4) [identica cu (3.1)] de oscilatii cu amplitudine exponential crescatoare, prin urmare domeniul II fig. 19 este prohibit pentru dezvoltare.
.  Daca in procesul cresterii are loc o usoara schimbare a intarzierii, atunci cresterea exponentiala a procesului poate avea loc doar pana la granita (3.8 ). In fig. 20 e prezentata o schema care arata ca [concomitent] cu variatia intarzierii pe masura apropierii de momentul (viitor) t₁ sistemul depaseste granita domeniului crsterii exponentiale. Inseamna ca tendinta exponentiala poate continua numai pana la momentul t₁. Pentru stabilizarea sistemului impotriva depasirii granitei (3.9) trebuie fie sa se micsoreze tempoul cresterii exponentiale, fie sa se micsoreze intarzierea, fie ambele astfel ca sistemul sa se intoarca in domeniul cresterii stabile.  
.  Cresterea amplitudinii oscilatiei la intrarea in diapazonul critic, dat de rel. (3.9), se manifesta in datele experimentale sub forma unei imprastieri. Aceasta e o proprietate obisnuita specifica punctelor critice, pentru procese de diverse naturi. Astfel, Patasinskii si Pokrovskii (1975) arata ca pe masura apropierii de punctul critic in substanta cresc fluctuatiile si remarca o anumita analogie cu fenomenele fluctuante din diversele puncte critice. Urâson (1973) observa ca variatiile individuale ale dimensiunilor corpului omenesc, in cresterea postembrionara, se amplifica in perioada maririi vitezei de crestere. In legatura cu această "crestere a variabilitatii simptomelor morfologice la varstele ce corespund cu perioada maturizarii sexuale, poate fi explicata prin influenta anumitor factori biologici, in special prin influenta deosebita la varsta fiziologica cand indivizii traverseaza punctele critice", (pag. 26). Un punct de vedere similar a avut si Thompson (1945).
.  In punctele critice se constata cresterea (receptivitatii) sensibilitatii sistemului la influente externe (Patasinskii, Pokrovskii, 1975) si nasterea unei corelatii intre elementele sistemului ce nu dispar la scara macroscopica (Fischer, 1968).
.  Granita domeniului de crestere exponentiala (3.9) delimiteaza spatiul parametrilor ecuatiei dezvoltarii (3.1), unde procesul dezvoltarii decurge destul de stabil. In acelasi timp exista o tendinta de crestere in zona, cat se poate de apropiata de granita (3.8 ), de asa natura ca asigura sporuri specifice maxime si ca urmare sistemul poate atinge o dimensiune mai mare. Experimental au fost stabilite mecanismele selectionarii indivizilor pe baza sporurilor specifice maxime (Rows, 1964): la mormolocii [broastei] de laguna Rana Pipiens a fost izolat un hormon ce deprima indivizii cu crestere inceata, ceea ce duce la pieirea lor.
.  Se pune intrebarea: pana cand trebuie sa se departeze [sistemul] de granita (3.8 ) pentru ca sistemul sa-si poata continua cresterea? Rezolvarea acestei [probleme] e legata de necesitatea de a restructura in asa fel sistemul incat in dezvoltarea sa viitoare, pe parcursul catorva perioade de timp, sistemul sa poata creste stabil. Asta cere pornirea mecanismelor de restructurare ale sistemului sub [influenta] viitoarelor caracteristici ale mediului, tinand cont ca orice [mecanism de] conducere se bazeaza pe prognoze. In felul acesta, mecanismul de restructurare a sistemului din timpul dezvoltarii stabile va trebui pe viitor sa fie accelerat, ceea ce inseamna o viteza de crestere a sistemului proportionala cu viitoarele sale caracteristici. Sa scriem sub forma diferentiala ecuatia unui astfel de mecanism:
Pentru a integra aceasta ecuatie trebuie sa se cunoasca functia de inceput
.  Anohin (1962) considera aceasta reflectare in avans ca pe o adevarata caracteristica a materiei vii, care garanteaza adaptarea sistemelor biologice la viitoarele schimbari ale mediului. Aceste fenomene se numesc preadaptari (Henderson, 1070). Ce-i drept, prognoza viitoarelor stari se face pe baza extrapolarii tendintei de ordonare/organizare in viitor, considerand ca [acesta] a fost [deja]. Totusi, variatiile in trepte ale tendintelor dezvoltarii contrazic o asemenea reprezentare.  Cu cat e mai lunga perioada, in care se formeaza o tendinta, cu atat mai scurt ramane intervalul [de timp alocat] viitoarelor schimbari ale caracteristicilor sistemului, in care [interval] se va continua tendinta de ordonare. Coexistenta, in procesele de dezvoltare, a mecanismelor de accelerare si de intarziere este descrida de ecuatia lui Hamilton. Pentru un proces dinamic, reprezentat de ec. (3.1), functia lui Hamilton, H are forma:
iar variabila de legatura se determina din scuatia:
In felul acesta, pentru un sistem, a carui dezvoltare e descrisa de o ecuatie diferentiala de tip intarziere, variabila de legatura e data de o ec. de tip "in devans"[?].
.  Sa studiem structura solutiei ecuatiei (3.10). Ecuatia ei caracteristica are forma: 
 sau, 
Pentru v= 0, u> 0, ca si mai inainte, se va realiza un regim de crestere exponential. In fig. 21 se dau variante de rezolvare grafica a acestei ecuatii, de unde se vede ca cea mai mare valoare kτ, la care este o solutie a ecuatiei caracteristice (3.1), corespunde conditiilor:
k∙τ= 1/e,   (3.12)
u∙τ= 1.      (3.13)


Fig. 21  Rezolvarea grafica a ecuatiei (3.11)
Fig. 22  Schema de formare a tempourilor cresterii stabile  

Aceasta ne dovedeste ca regimurile exponentiale de crestere pentru ecuatiile de tip in devans se vor pastra in zona de sub granita (3.13).
.  Din (3.9) si (3.13) rezulta domeniul in care sunt realizate regimurile de crestere stabila (v. fig. 22).La iesirea procesului peste granita (3.9) pentru stabilizarea caracteristicilor sale e necesar sa se restructureze parametrii astfel incat sistemul sa se afle in domeniul in care procesele de tip intarzietor si accelerator[in devans] se pun de acord. Inseamna ca pentru stabilizarea sistemului pe seama schimbarii sporurilor relative e necesar un salt al sporurilor relative nu mai mic de 1,29 ori, adica tranzitia intre granitele domeniului cresterii stabile, pentru ecuatiile de tip intarziere (3.9) si de tip in devans (3.13), ne da raportul tempourilor u₁/u₂= 1,29.
.  Acest lucru permit -, cunoscand tempoul de inceput al cresterii, dependenta τ= f(t) si dimensiunea de inceput a sistemului - sa se determine felul cresterii sale pe viitor si pozitia punctelor sale critice (v. fig. 23).


Fig. 23  Schema de prognoza a curbei de crestere
Fig. 24  Rezolvarea grafica a ecuatiei (3.14)  

Tempoul cresterii pe curba [reprezentata] la scara pe jumatate logaritmica este unghiul pantei unei parti liniare a dependentei cu axa absciselor [curba exponentiala se transforma in linie dreapta in coordonate logaritmice]. Masurand aceasta marime se poate pune valoarea ei in cadranul I, fig. 23. Aceasta marime a tempoului cresterii exponentiale se poate realiza numai pana la granita (3.9), care decide marimea intarzierii, la care se schimba tempoul cresterii. Conform relatiei τ= f(t) din cadranul IV, fig. 23, marimea critica a intarzierii dicteaza momentul aparitiei punctului critic si pe ea [pe baza ei] se stabileste sfarsitul regimului exponential cu tempou de incepere. Micsorand tempoul de incepere de 1,29 ori, obtinem noul nivel al tempourilor de cerestere, caruia ii si determinam unghiul pantei in cadranul III din fig. 23.
.  In felul acesta, in baza determinarii tendintei de crestere si a varstelor de aparitie a perioadelor critice pe dezvoltarea exponentiala sta dependenta intarzierii de factorii interni si externi. Clarificand structura unor astfel de dependente, [acestea] pot fi folosite pentru cercetarea si prognozarea particularitatilor proceselor de dezvoltare (Kuzmin, Lenskaia, 1974; Ciuev s.a., 1975; Kobrinskii, Kuzmin, 1981).
.  Ecuatia de dezvoltare (3.1) apartine de tipul instabil. In procesele de dezvoltare deopotriva cu stadiile crestere exista si stadii la care dimensiunea sistemului scade. Ele sunt descrise de o ecuatie de dezvoltare de tip stabil:
unde, k> 0, τ> 0. Vom cauta solutii de forma exponentiala, la aceasta ecuatie, si obtinem ecuatia caracteristica,
a carei rezolvare grafica e data in fig. 24. Cea mai mare valoare kτ, pentru care gasim solutii, corespunde cu:
.  In felul acesta relatiile (3.8 ) si (3.9) fixeaza limitele spatiului parametrilor ecuatiilor dezvoltarii de tip nestabil, iar (3.15) si (3.16) pe acelea ale ecuatiilor dezvoltarii de fip stabil. Relatiile (3.9) si (3.16) determina/fixeaza in mod substantial ingradirile (granitele) in limitele de aplicabilitate a functiei densitate de repartitie din matematica statistica, tocmai de aceea folosita la prelucrarea datelor experimentale, orientate pe aparitia diapazoanelor, inauntrul carora totalitatea [continuturilor] statistice coincid pe deplin (Evtihiev, Kuzmin, 1982; Korbinskii, Kuzmin, 1981).



.  Sa examinam proprietatile comune (generale) ale modelului de dezvoltare de tip stabil, redat de ecuatia (2.5):
Vom cauta solutii de forma:
Deoarece k(t) si τ(t) sunt variabile, tempoul schimbarii dimensiunilor sistemului il cautam sub forma unei functii de timp.
.  Din (3.18) urmeaza:
si inlocuirea (3.18) si (3.19) in (3.17) conduce la ecuatia
Deoarece nu poate exista o marime a intarzierii mai mare decat varsta sistemului, ceea ce ar putea schimba clasa ecuatiei (3.17), punctului critic t* ii corespunde conditia,
Raportul (3.21) e considerat de obicei ca fiind caracteristic unei stari critice. Clasa proceselor, la care sporurile relative scad cu varsta, e data de conditia:
dz(t*)/dt≤ 0.  (3.22)
.  Atunci din (3.20) si (3.21) rezulta
.  Tinand cont de (3.22) transcriem (3.23) sub forma
Din (3.24) obtinem
Inmultind ambele parti ale inegalitatii (3.25) cu t*, obtinem
Rezolvarea grafica a cestei inegalitati (v. fig. 23) arata ca e indeplinita numai daca  
Atunci,
si
De aici, inlocuind (3.27) in (3.18), obtinem,
Din (3.26) si (3.27) rezulta
sau
Relatiile (3.26) si (3.27) sunt caracteristice conditiilor la limita ale dezvoltarii, asa incat produsul variabilelor k(t) si τ(t) nu poate fi mai mare decat valoarea data de ec. (3.26). De aceea atingerea marimii k(t) a granitei (3.26) caracterizeaza sfarsitul regimului stabil de dezvoltare.
.  Inmultind toata ecuatia (3.29) cu t* si inlocuim valorile obtinute in ec. (3.18). Deoarece conditia (3.21) da estimarea solutiei (in partea de jos, inferioara), obtinem:
.  In capitolul 1.3. spuneam ca sunt foarte raspandite procesele allometrice la care k(t)= B/t, adica sporurile relative (scad) invers proportional cu varsta sistemului. Analizam regimul allometric si inlocuim k(t)= B/t in inegalitatea (3.30). Atunci
care ne dovedeste ca estimarea sfarsiturilor transformarilor stabile in partea de jos este o constanta definita de parametrii procesului allometric B, adica de unghiul pantei traiectoriei procesului, pe portiunea sa liniara (liniara, in coordonate dublu logaritmice).
.  Estimarea traiectoriei procesului in partea superioara e data de cazul cand lipseste intarzierea, adica procesul e descris de ecuatia
a carei integrala este functia putere [power function]
si ca urmare estimarea in partea de sus e data de raportul
.  Din (3.31) si (3.32) rezulta
de unde
In consecinta, raportul dintre valorile argumentelor corespunzatoare sfarsitului si inceputului dezvoltarii allometrice stabile, este o marime constanta, egala cu e^e (Kuzmin, Jirmunskii, 1980a, 1980б).
.  Cercetarea ecuatiei (3.17) pentru regimuri allometrice, adica la k(t)= B/t, pe baza teoremei lui Krasovskii (1959) a demonstrat ca stabilitatea solutiei triviale si asimptotice se asigura pana la (inclusiv) punctul critic (Jirmunskii, Kuzmin, 1982). Din (3.26) rezulta ca pentru (marimea) variabilei de baza (exista un) exponent (putere) B (unghiul pantei in scala logaritmica) [care e] o constanta egala cu
.  In felul acesta rapoartele critice determina concomitent valoarea functiei si a argumentului din punctele critice succesive urmatoare si caracteristica (aspectul) curbei dintre ele[punctele], ceea ce isi gaseste oglindire in datele experimentale din teoria (aparitiei) fenomenelor critice (Fișer, 1968, Pataşinskii, Pokrovskii, 1975: Ma, 1980). In aceasta teorie a fost introdusa ipoteza asemanarii (Pataşinskii, Pokrovskii, 1975) , conform careia dintr-un mare numar de caracteristici, ce au fixat pozitiile [punctelor] critice, se evidentiaza una - lungimea caracteristica. Se cerceteaza dependenta ei de diferite temperaturi (T- T_c), unde T si T_c corespund temperaturilor: actuala si critica. Dependentele pentru schimbarea restului variabilelor din vecinatatea punctului critic se stabilesc folosind rapoartele teoriei ritmicitatii [теории размерности]. La momentul actual, aceasta cale suscita un mare interes deoarece pana la introducerea unui sistem unic de etaloane pentru masurarea diverselor marimi fizice se fac incercari de utilizare a unui singur etalon - de timp, iar restul lor se calculeaza folosind dependente de tip functie exponent, bazate pe constante fundamentale.
.  Diferitele caracteristici fizice [masa, volum, lungime, etc.] reprezinta interconexiuni dintre stari de sisteme, de acelasi nivel ierarhic ori de nivele ierarhice diferite. De aceea ne putem astepta ca valorile argumentului (exponentului) [functiei putere] sa reflecte informatia, despre caracteristicile [ale] caror nivele ierarhice se afla in datele analizate. De exemplu, dependenta intre masa corpului si masa scheletului la animale (domestice) e descrisa de o relatie in care B= 1, ceea ce dovedeste (defineste) apartenenta acestor caracteristici de un singur nivel ierarhic. Relatia intre lungimea corpului si lungimea capului la om este B= 2.6 [?], deci datele se refera la diferite nivele ierarhice (lungimea corpului e o caracteristica a intregului iar lungimea capului - a unei parti a lui).
.  Dupa rezultatele cercetarii experimentale, pe care ni le aduc la cunostinta Fișer (1968) si Ma (1980). in relatiile exponentiale [f. putere] [dintre] capacitatea calorica si magnetizarea spontana de la (T- T_c), argumentele [functiei putere] in primul caz sunt (reprezentate de) diapazoanele 0,11- 0,17, 0,13- 0,19, 0,125± 0,15, 0,14± 0,06, 0,07- 0,14, iar in al doilea caz de 0,32- 0,36, 0,32- 0,39, 0,312± 0,03, 0,37± 0,04. Aceste valori sunt apropiate respectiv de 1/e²= 0,135335283 si 1/e= 0,367879441. Ne putem convinge ca si pentru restul caracteristicilor pentru care se aduc date experimentale, le corespund - un sir de - rapoarte critice, ce vor fi studiate amanuntit in cap. 6.
.  In felul acesta marimea/valoarea exponentului [argumentului functiei putere] poarta [cu el] informatia despre apartenenta marimilor analizate de anumite nivele structurale. In acest caz, doua valori/marimi [ce apartin] de un acelasi nivel structural, in cazul studiului (comparat, impreuna), nu ne dau informatie noua. De unde rezulta ca indeplinirea conditiei (3.34) pentru nivel[interval] allometric este un simptom specific pentru variabila de baza.
.  Pentru ecuatia allometrica de tip nestabil,
vom cauta solutia de forma (2.13),
Atunci ecuatia caracteristica are forma:
Folosind inegalitatea (3.21), obtinem estimarea solutiei ecuatiei de tip nestabil, in partea de jos:
Rescriem (3.36) folosind inegalitatea (3.22)
de unde,
 (3.37)
.  In cap. (3.1) s-a aratat ca in cazul egalitatii, din ecuatia (3.37) apar radacini pseudopozitive la k∙τ= (3/2)π (v. 3.2). Pentru aceeasi valoare k∙τ e indeplinita (si) inegalitatea (3.37). Totodata conf. (3.9) zτ= 1,293129638.. Atunci
sau
[sau, z(t)= k(t)∙0,274410631]
.   Aceasta egalitate este indeplinita in punctul critic, pentru care [dupa care?] merge [porneste?] un regim oscilator cu amplitudine exponential crescatoare.


Fig. 25  Schema de formare a diapazoanelor allometrice succesive de tip stabil (I) si nestabil (II)
Valoarea argumentului din acest punct il notam ca si mai inainte, t*. Inmultim ecuatia (3.38) cu t* si o inlocuim in (2.13). Rezulta,
Pentru un regim allometric k(t)= B/t si
Pe de alta parte estimarea solutiei ecuatiei de tip nestabil in [partea de] sus ne-o da ecuatia cresterii allometrice fara intarziere:
De aici x= At^B si traiectoriile acestei ecuatii nu le vor putea depasi regimurile allometrice cinstite, adica,
Din (3.39) si (3.40) obtinem
sau, dupa impartirea cu B,
t*/t_o≥ exp[2∙1,293/(3π)].  (3.41)
Pe masura ce τ se micsoreaza raportul varstelor dintre doua puncte critice tinde asimptotic catre marimea:
.  Astfel, doua regimuri allometrice succesive de tip stabil si nestabil, la mici intarzieri, isi vor recroi diapazonul varstelor, stabilit [valoric] de [catre] produsul rapoartelor (3.33) si (3.42), adica,
[vezi Fig. 25, (Kuzmin, 1985)]



.  Este stiut ca, in conditii interne si externe constante, dezvoltarea se produce dupa o lege exponentiala. In cap. 3.1 s-a aratat ca la schimbarea caracteristicilor sistemului, in limitele unui  diapazon de conditii interne si externe, dezvoltarea de asemenea ramane exponentiala, daca-s respectate granitele fixate la parametrii procesului, descris de ecuatia dezvoltarii.
.  Introducem un argument adimensional,
Atunci, pentru dependenta exponentiala obtinem,
Introducem o noua variabila,
care, de asemenea este adimensionala. Atunci,,
adica am obtinut o dependenta exponentiala.
.  Deoarece pentru procesul allometric de tip stabil, in acord cu (3.33), raportul varstelor a doua puncte critice consecutive este θ*≤ e^e, obtinem,
adica pentru o functie exponentiala, raportul argumentelor [exponentilor] din doua puncte critice consecutive nu depaseste valoarea e. Sa prezentam cateva considerente pentru verificarea relatiei (3.46).
.  Sa examinam ecuatia dezvoltarii de tip stabil (3.17), in punctul critic, in care intarzierea este egala cu varsta sistemului, adica t*= τ. Atunci ecuatia caracteristica (3.20), pentru punctul critic, se scrie sub forma,
Conditia de regim critic (3.27) in acest caz are forma
si substituirea ei in (3.18) conduce la relatia,
adica in punctul critic, in care t*= τ si se indeplineste conditia de regim critic (3.27), raportul dimensiunilor [marimile sist. bio.], din doua puncte critice consecutive, este egal cu e. [nu cu e^e?]
.  Remarcam ca expresiile (3.8 ) si (3.27) se potrivesc cu o lege empirica larg utilizata in teoria ritmicitatii [masuratorilor, limitelor?], conf. careia in vecinatatea punctelor critice marimea adimensionala a exponentului este de ordinul unitatii (Migdal, 1975). S-a aratat (Eșbi, 1962: Gurețkii, 1974) ca dezvoltarii sistemelor cu intarziere le este caracteristica declansarea mecanismelor de reglare (adaptare la noile conditii de viata) functie de o perioada egala cu timpul de intarziere. Asta corespunde binecunoscutului mod de estimare a starilor critice, conf. caruia in punctul critic marimea intarzierii este egala cu varsta sistemului (Patașinskii, Pokrovskii, 1975).
.  Dinamica relaxarii adesea este considerata functie exponentiala de timp (Dei, 1974). Pentru procesele cu o variatie exponentiala a intarzierii in raport cu timpul,
De unde in concordanta cu (3.47),
si din conditia egalitatii intarzierii cu argumentul in punctul critic obtinem,
adica se reproduce relatia (3.46).
.  De aici rezulta ca succesiunea valorilor argumentelor din punctele critice poate fi redata de succesiunea,
unde k este numarul de ordine al punctului critic. Daca la exponent se afla varsta sistemului, valoarea t* semnifica varsta critica (sau frontiera critica). In felul acesta, pentru procesele de dezvoltare exponentiala a sistemelor valorile critice ale argumentelor se pozitioneaza unul fata de altul astfel incat raportul lor sa fie constant si egal cu "e".
.  Numarul lui Neper este bine cunoscut ca si critic si este larg folosit in teoria si practica modelarii [proceselor de crestere]. Astfel, la modelarea cresterii, utilizand ecuatia lui Bertalanfy si Gomperț, raportul dintre dimensiunea maxima si dimensiunea din punctul de inflexiune [punctul critic] este egal cu "e" (Mina, Klevezal, 1976). Bogatia [multimea] de modele, dupa cum se vede, este legata de faptul ca, in ele [modelele] caracterul critic al raportului dimensiunilor sistemelor (aflate in crestere) de "e" ori, reprezinta el insusi forma dependentei utilizate. [??]
.  "Timpii constanti" sunt introdusi ca marimi, atunci cand caracteristica studiata scade de "e" ori (Glinkin, 1962). Din teoria informatiei se stie ca maximum de bariera stabila [?] se obtine cand probabilitatea este egala cu e^-1 (Șennon, 1963). Acest rezultat se potriveste cu proprietatile generale [comune] ale functiei tip entropie, pe care [ei] o denumesc [functie степенно-показательными] putere-tipica (Savelov, 1960).
.  Inca un domeniu in care marimea "e" figureaza ca si critica , se refera la constructia structurilor ierarhice formate dintr-un mare numar de elemente de acelasi fel. Ideala dupa timpul de propagare a informatiei este ierarhia cu modul egal cu "e" (Fleișman, 1971). In varianta numar intreg asta corespunde structurii troica, ce-si are o mare raspandire in ierarhiile liniare (Ober-Krie, 1973).
.  Pentru un proces de tip exponential nestabil, in punctul critic t*= τ, din rel. (3.42) rezulta
sau conf. cu (3.5), (3.8 ) si (3.9),
de unde,
Inseamna ca raportul varstelor (marimilor argumentelor) a doua puncte critice succesive, pentru procese exponentiale de tip nestabil este egal cu 3,644... Intregul diapazon pentru o pereche [ambele?] de procese de tip stabil si instabil e in acest caz
t*/t_o= exp(2,293...)= 9,905...  (3.50)
.  In felul acesta intregul diapazon al ambelor procese, stabil si instabil, sunt apropiate de schimbarea varstelor in punctele critice pe rand[?].


.

.


.  In cap. 3.3. s-au studiat ierarhiile proceselor de dezvoltare. In acelasi timp, ocazionat de succesiunea modelelor nivelelor ierarhice s-a gasit calea de introducere a functiei (dependentei) tempourilor de crestere (sau marimile tempourilor relative (in functie) de timp - argumentul procesului), adica pentru cresterea exponentiala - tempou constant, pentru regim allometric - [tempou] invers proportional cu varsta (cu argumentul procesului), pentru infasuratoarea [для огибающей] regimurilor allometrice - invers proportional cu t∙lnt, s.a. Modelul de tip exponential descrie caracteristicile dezvoltarii la nivelul de jos[?], modelul allometric apare ca o infasuratoare a proceselor de tip exponential, similar se intampla agregarea succesiunilor modelelor de tip allometric.
.  In cap. 3.1 s-a aratat ca ecuatia  dezvoltarii (de crestere) (2.4) garanteaza posibilitatea variatiei exponentiale a caracteristicilor sistemului in domeniul, limitat de o relatie de forma:
unde constanta a= 1,293129638...  (3.9) pentru proces de tip nestabil si a= -1 pentru proces de tip stabil (3.16). De aici, cand procesul dezvoltarii se afla in apropierea granitei critice,
Ca rezultat al agregarii isi are originea metoda aratata mai sus, pe seama faptului ca in procese de tip exponential cu tempouri descrescatoare se pastreaza egalitatea,
De aici,
adica apare un regim allometric. Succesiunea regimurilor allometrice e caracterizata de relatia
de unde ca si infaptuire a procesului in apropierea granitei critice se obtine infasuratoarea lor[a regimurilor],
adica intarzierea de la stadiul precedent va constitui - in ecuatia dezvoltarii - functia k(t) a stadiului urmator. In felul acesta, ierarhia modelelor dezvoltarii, la care in primul stadiu vom considera un proces uniform, [ierarhia] urmatoarelor stadii critice are forma,
unde , x_i  (i= i, 2, 3,...) - e dimensiunea sistemului de la nivelul ierarhic i.
.  Vom masura timpul din duratele proceselor elementare caracteristice de la stadiul inferior al ierarhiei t_o,
.  Atunci, conf. functiilor care reprezinta argumentele proceselor de pe diferite nivele/stadii ierarhice, exista o valoare de prag a varstei relative a sistemului care se dezvolta, incepand cu care se declanseaza stadiul ierarhic respectiv. Astfel, procesele exponentiale incep de la momentul zero al dezvoltarii (valoarea argumentului). Procesele allometrice se declanseaza de la θ= 1, infasuratoarea regimurilor allometrice, data (determinata) de timpul θ₄= ln(lnθ), incepe cu θ= e. Urmatorul stadiu al dezvoltarii se lanseaza la θ= e^e s.a.m.d.
.  Se poate remarca ca aruncarea procesului pe un anumit stadiu ierarhic se produce la o valoare adimensionala de timp , data de un raport a doua varste critice ([de] valorile argumentelor) alor doua puncte critice consecutive ale stadiului, [raport] care se gaseste prin impartirea [varstei] celei curente la precedenta [de mai jos]. Astfel, raportul critic de "e" ori dintre [doua] varste critice consecutive este tipic pentru procesele exponentiale [de tip] (3.46), declanseaza procesul, care este infasuratoarea regimurilor allometrice ale dezvoltarii. Raportul e^e (3.33), tipic pentru procesele allometrice de tip stabil, dă drumul dezvoltarii pe stadiul, aflat peste un stadiu de cel allometric, s.a.m.d. (Fig. 26).


Fig. 26.  Dependenta exponentilor de timpul adimensional, la procesele cu sporuri relative descrescatoare, pentru diverse stadii ierarhice
Punctele de pornire a stadiilor ierarhiei sunt determinate de valoarea timpului adimensional, [incepand] cu T= 0; II - Proces exponential;  III - Proces allometric;  IV si V  - Infasuratoarele proceselor allometrice

.  In felul acesta, in procesele de dezvoltare ale sistemelor, se formeaza o ierarhie de stadii structurale, care [ierarhie] este caracterizata de [existenta unor] rapoarte critice pentru procesele de tip stabil, [stadii] pozitionate functie de rangul ierarhic [respectiv] de [catre] proportia recurenta
unde N_k - raportul dintre varstele ([dintre] valorile argumentelor) a doua puncte critice consecutive. Aceste valori le numim constante critice. Pentru procesele de tip stabil N_o= 0, de unde [rezulta ca] succesiunea rapoartelor critice, din cauza stadiilor ierarhice, are aspectul din Tab. 2.  

Tab. 2  Constantele critice pentru procesele de tip stabil si varstele corespunzatoare declansarii nivelelor ierarhice Pe coloane: 1)Nivelul ierarhiei, k; 2)  Nivelul [rangul] ierarhiei, care se declanseaza la rapoartele respective [coresp.]; 3)Raportul dintre valorile argumentelor din puncte critice succesive, N_k; 4)  Denumirea nivelului [rangului] ierarhic: Uniform; Exponential; Allometric; Infasuratoarea allometricelor  


.  In concordanta cu expresiile (3.42) si (3.48), pentru procesele de tip allometric nestabil [pentru] procesele [de tip] exponential, constantele critice apar la exponenti si sunt [pre]determinate de constanta critica initiala [de inceput],
In consecinta, intreaga perioada de dezvoltare se spatiaza pe stadii [faze, etape]. Trecerea de la o etapa la alta se produce prin salturi, ale caror caracteristici constau din schimbarea vitezei de crestere exponentiala, fie [in schimbarea] a parametrului allometic, fie a parametrului infasuratoarei allometrice, s.a.m.d. Punctele in care se schimba parametrii sunt critice, in ele se produce schimbarea caracteristicilor calitative ale sistemelor [aflate] in dezvoltare. Punctele critice sunt ordonate dupa rangul ierarhic. Rangul punctului critic, pentru procese de dezvoltare, creste odata cu [cresterea] diapazonului varstelor si a [distantelor] intinderilor dintre punctele critice succesive, adica, [odata] cu cresterea nivelului ierarhic din sirul exponent- allometrie- infasuratoare allometrica, etc.
.  Un interes deosebit il prezinta aici multimea de rapoarte critice, care ar trebui sa apara in datele experimentale. Interesant este ca aprecierea [estimarea] constantelor critice de tip stabil pentru infasuratoarea allometric(elor)a a fost descoperita de Șmalhausen, (1984). El a studiat intreaga perioada de dezvoltare individuala, de la inceputul dezvoltarii embrionare pana la moartea organismului (ontogeneza), ca si succesiune de regimuri allometrice si a gasit ca dimensiunea limita [maxima] a oricaror organisme e determinata de dimensiunile de inceput. Smalhausen a introdus un exponent pe care l-a denumit "productivitate specifica" a cresterii:
unde B - exponentul allometriei.
.  In cazul regimului allometric schimbarea volumului [dimensiunii] e data de relatia dV/V= B(dt/t)
sau
.  In legatura cu faptul ca intregul proces al dezvoltarii include un sir de regimuri allometrice (Fig. 1.), se poate gasi o "productivitate specifica" integrand regimurile allometrice consecutive la valori constante ale coeficientilor allometrici. Atunci,
.  Rezultatele calculelor "productivitatilor specifice" facute de Șmalhausen (1984), sunt prezentate in Tab. 3.
Tab. 3  "Productivitatea specifica" a cresterii animalelor (dupa: Smalhausen, 1984, p. 23) Cap de tabel:  Productivitatea specifica, u / (Cresterea embrionara/ Cresterea postembrionara/ Total]
Coloana 1 - Pastruga; Stiuca; Gaina; Soarece; Sobolan; Porc de India; Porc; Om  


Pe baza acestora s-a emis ipoteza ca marimea "productivitatii specifice" de la 20 la 25 reprezinta maximum din ce poate produce unitatea de materie vie dintr-un organism diferentiat. Conf. cu relatia (3.54) raportul volumului maxim fata de cel de inceput este
.  Aceasta evaluare este cam umflata deoarece, strict vorbind, stadiile de dinainte de organism [preorganice] ale dezvoltarii embrionare nu sunt allometrice si ca atare includerea lor in calculul "prod. specifice" sub forma relatiei (3.54) e incompetenta. "Prod. specifica" ca si caracteristica a procesului de dezvoltare a organizmului echivaleaza cu inceputul dezvoltarii organismului  (Fig. 27), cand incepe primul regim allometric.


Fig. 27  Dinamica de varsta a lungimilor embrionilor de porc
Pe abscisa - varsta, in [zile]; Pe ordonata - lungimea [cm];
O - inceputul dezvoltarii organismice; P -  nasterea; (dupa: Biology data book, 1964 )

Fig. 28  Constantele critice oentru diferite nivele [ranguri] ierarhice (punctele de pe fig.)
Linia continua uneste constantele critice ale proceselor de tip stabil, Linia intrerupta uneste constantele critice ale proceselor nestabile; Pe abscisa - numarul [rangului] nivelului ierarhic; Pe prdonata - constantele critice

Cea mai mare influenta in calculele lui Șmalhausen aceasta[?] a exercitat asupra datelor  despre dezvoltarea /[cresterea] vitelor [animalelor mari], la care stadiile preorganice ocupa cel mai mult timp comparativ cu vietuitoarele mici. La om stadiile organice incep din a 19-a zi a dezvoltarii (Stanek, 1977), ca rezultat recalcularea datelor din Tab. 3 tinand cont de asta ne da "productivitatea specfica" 13.2. La porc inceputul dezvoltarii organice, care se suprapune cu inceputul primului regim allometric, survine in a zecea zi (Biology data book, 1964; Fig. 28), ca rezultat "prod. specifica" de asemenea este 13.2. Prin urmare, valoarea "prod. specifice" pentru toate dezvoltarile organismelor este intre 13- 16. Asta ne da, conf. (3.54), estimarea raportului dintre volumul maxim si volumul de inceput,
ceea ce corespunde raportului critic de al 4-lea nivel ierarhic [rang] (v. Tab. 2).
.  Cel mai mare interes in istoria studierii numeroaselor rapoarte critice il prezinta succesiunile [functiei] putere-exponentiala introdusa de Arhimede (citat dupa: Arhimede, 1962), care au fost stabilite dupa principiul expresiei (3.53) la o baza de n= 10⁸
.  Succesiunea (3.53) reprezinta ea insasi un sir exponential. Ca si la procese neintrerupte [continue], unde, in anumite puncte, dezvoltarea vireaza in allometrica sub actiunea mecanismelor de actiune []influentare] a memoriei asupra dezvoltarii sistemelor, pentru mecanisme discrete de formare a punctelor critice se vor obtine de asemenea raporturi allometrice, adica ne putem astepta la aparitia constantelor critice de forma,
.  In concordanta cu aceasta relatie, pentru ca sa gasim valorile constantelor critics, trebuie sa se dea primii termeni ai sirului.  Allometria apare ca infasuratoare a regimurilor exponentiale, de unde vom lua drept valoare de inceput raportul critic al procesului exponential. In plus trebuie sa fie indeplinit si raportul critic si pentru procesul de tip allometric, ceea ce ne permite sa aflam marimea exponentului puterii din ultima relatie. Atunci, la N_o= e si  N₁= e^e, obtinem a= e, de unde,
Ca rezultat al treilea membru al succesiunii este:
[~= 1000A; numarul de aur fiind 1,61803909] Aceasta marime ("patruzeciul patruzecilor") au considerat-o/ era considerata/  limita a mai mulor numere (40x 40= 1600) (Kuzmin, Grakin, 1986).
.  In cazul de fata se dovedeste ca succesiunile de tip exponential si allometric la determinarea numerelor critice primii lor termeni (e si e^e) coincid, dar mai departe dependenta de tip exponential da in mod esential/radical [prob. brusc] valori mari.
.  Procesele examinate aici dau o contractie a scasrii de timp, ceea ce e caracteristicpentru sporurile relative descrescatoare. Ceea ce conduce la cresterea rapoartelor critice la traversarea nivelelor ierarhice mai inalte.
.  Contrar acesteia, pe sectoare, unde sporurile relative cresc, scara temporala se dilata, ca urmare tendinta de schimbare/ variatie/  a constantelor critice la schimbarea/ variatia/ se petrece altfel. Scara aici se modifica din liniara in exponentiala, adica, constantele critice formeaza o functie inversa celei exponentiale, adica logaritmica. De aici,
sau
.  In cazul general pentru procesele, care se produc atat cu scara contractata cat  si cele cu scara dfilatata,, scriem ecuatia generala,care este caracteristica succesiunii constantelor critice
la conditiile initiale:
N_o= 0 - ptr. procese de tip stabil si N_o= exp(1,293...) (v. 3.25) - pt. procese de tip nestabil.
Valoarile constantelor critice pentru procesele de tip stabil si nestabil se dau in Tab. 4 :

Tab. 4  Constantele critice pentru diverse ranguri[nivele] ierarhice
Pe coloane: Rangul[Nivelul], k / Tip stabil / Tip instabil  


Cateva dintre ele sunt cunoscute si-s larg folosite. Astfel, constanta de rangul al (-2) -lea (nivel), (e^-1), este inversa constantei corespunzatoare, de nivelul al 2- lea. Despre valorile [importanta?] si deducerea lor am vorbit mai inainte.
.  La al (-3) -lea nivel ierarhic e marimea (1/e)^(1/e), a carei valoare e apropiata de foarte utilizatul , din teoria proportiilor, √2= 1,414... (Rybakov, 1984). Hegel (citat dupa Hegel, 1970) in dizertatia filozofica: "Despre orbitele planetelor" a propus, pentru inceputul calculelor succesiunii de orbite, sa se ia (3)^(1/3)= 1,442..., valoare f. apropiata de (e)^(1/e).
.  Proportia critica a celui de al (-4) -lea nivel ierarhic e specifica la variatia scarii prin dublare, ceea ce corespunde scalei muzicale. Procesele ce se desfasoara cu dublarea perioadei, observa (Feigenbaum, 1980), considerand, ca "dublarea perioadei - e o trasatura specifica a trecerii sistemului de la o periodicitate simpla catre o miscare complicata neperiodica". El aduce un mare numar de exemple, in care /cand/ se realizeaza un astfel de mecanism de dezvoltare.  


Fig. 29  Structura sincronizarii granitelor critice uniforme si neuniforme de rangul 2    

.  In fig. 29 se da dependenta constantelor critice de diferitele nivele ierarhice, din care se vede ca pentru nivele mai mici [inferioare] decat nivelul al (-3) -lea, constantele proceselor stabile si instabile practic converg si tind spre aceeasi limita. Pe masura apropierii din stanga catre nivelul zero creste amplitudinea oscilatiei valorii, iar la trecerea in domeniul numerelor pozitive de nivele ierarhice se observa o crestere brusca a constantelor critice.
.  In vechea Grecie exista un gnomon al "sectiunii de aur" (Mihailov, 1967), care impartea octava in proportia de aur. Granitele gnomonului  concorda cu constantele critice din Tab. 4, pentru procese[le] de tip stabil, date in
Tab. 5, de unde se vede ca sase constante critice au analogii in gnomon.
.  Valoarea apropiata de constanta critica asimptotica (0,5671...= 1/1,76325...) a fost realizata in teoria proportiilor ca  √3= 1,7320... (Râbakov, 1984)

Tab. 5  Suprapunerea "sectiunii de aur" a gnomonului cu constantele critice Pe co;oane: Nivelul constantei critice, k / Constanta critica, N_|k| / Gnomonul "sectiunii de aur"  




3.5.  Sincronizarea pragurilor critice apartinand de nivele ierarhice diferite

.  In capitolul precedent am examinat ierarhia rapoartelor critice pentru procesele, ce se petrec la diferite nivele ierarhice. Ne putem astepta ca intensitatea fenomenului critic sa creasca in mod radical in acele cazuri, cand cateva praguri critice [apartinand] de diferite nivele ierarhice se intampla sa se [potriveasca] sincronizeze.

(NT - Autorii utilizeaza doua cuvinte diferite pentru inflexiunile curbelor exponentiale: рубеж si границ. Cele doua cuvinte au atat intelesuri comune, de ex. acela de granita, cat si intelesuri diferite. Intrucat uneori in aceeasi propozitie apar ambele cuvinte, am considerat ca autorii folosesc intelesuri diferite, marcand sensuri diferite. Am tradus, mot-a-mot, incepand din acest capitol 3.5., cuvantul рубеж prin prag iar cuvantul границ prin granita. Nu sunt chiar sigur ca de fiecare data autorii au facut aceasta diferentiere in text si ca uneori nu le-au considerat sinonime, cu acelasi inteles.)

.  Incepem cu stabilirea conditiilor de sincronizare ale proceselor ce se deruleaza pe primele doua nivele [ierarhice?]. Primul nivel se caracterizeaza prin aceea ca da tacturi [masuri] egale ritmurilor dezvoltarii. Este cazul, de ex., a intervalelor de timp dintre diviziunile succesive ale celulelor, care constituie un adevarat metronom al dezvoltarii populatiilor de celule, [ca si] consecinta a ciclurilor egale din mediul extern, provocate de diversele procese din biosfera, geosfera s.a. Tacturile [masurile, intervalele] egale ale argumentului (de timp) vor genera [o reactie] reactia in lant, atestata de procesele exponentiale. Valorile succesive ale marimilor critice ale argumentului la procese de tip exponential, dupa cum vom arata in capitolul 6, sunt date de expresia (3.48). Daca argumentul este varsta sistemului, valoarea semnifica varsta critica (a pragului).
.  Sa determinam conditiile la care, in anumite momente, ce sunt date de relatia (3.48), inauntrul [carui] diapazon printre aceste momente se nimereste [se gaseste] [un] numar intreg de praguri ale procesului de rangul intai - [de] intervale egale de timp. [??] Fie t_k - varsta granitei corespunzatoare uneia din granitele ce se succed[eaza] inegal si  totodata [consideram ca] pana la precedentul nivel critic t_{k- 1} se potrivesc exact "n" granite egale, de lungime T_k. Conf. relatiei (3.48) aceasta conditie se scrie sub forma:
.  Sa presupunem ca un ciclu de lungime T_k, se afla (pana) la pragul t_{k- 1} adica pe valoarea varstei pragului
si ca va cadea (se va potrivi) pe[ste] pragul critic t_{k- ν}, unde (k- ν) e numarul pragului critic [unul din cele] ce se succed[eaza] (alterneaza) inegal. Atunci,
In acest caz,
Din (3.55) si (3.56) obtinem sistemul de ecuatii:
De unde rezulta:
sau
si,
Atunci,
si
.  Inseamna ca valori intregi posibile ale lui n corespund doar la n= 2 si n= 1. Sa gasim valoarea lui ν, care asigura [o] valoare intreaga pentru n. Conform ecuatiilor introduse [cu] ν≥ 2 si apare numarul intreg. La ν= 2 obtinem
iar la ν= 3 corespunde
Cresterea pe mai departe a lui ν pana la ∞ nu conduce la aparitia de noi valori intregi ale lui n. Prin urmare, ν= 3 este singura valoare a lui ν, care indeplineste conditiile, cand n= 2.
.  Sincronizarea peste m praguri critice conduce la expresia
Inmultitorul [factorul, amplificatorul, coeficientul] depinde de m, care e raportul intre varsta pragului (t_k) si intervalul uniform de timp (T_k),
[si] se da in Tab. 6.

  Tab. 6  Raportul dintre varsta pragului critic (t_k) si lungimea intervalului egal [uniform. ritmic] de timp (T_k) functie de diapazonul de sincronizare (m)  


.  Din datele prezentate in Tab. 6, rezulta, ca are sens examinarea pozitiilor pragurilor sincronizate pentru m= 1(cazul analizat mai sus al sincronizarii pragurilor invecinate) si m= 2 (sincronizarea peste un prag) deoarece toate rapoartele urmatoare corespund cu pozitiile pragurilor, determinate de lungimea ciclului T_k, astfel ca
lim_m→∞ t_k = nT_k
.  Prin urmare, intregul sortiment de praguri critice de sincronizare a proceselor de rangul 1 si 2 e dat de urmatoarele expresii. La m= 1 pragurile de sincronizare de baza pana la al (k - 3)-lea ordin se gasesc cu formula
intervalele nesincronizate intermediare, sunt  determinate de intervalul intermediar de timp T_k, dupa formula
La m= 2 corespunde
.  E usor de aratat ca posibilitatea de sincronizare cu praguri mai departate in cazul dat lipseste. De aici, mai interesant pentru studiere e cazul m= 1, deoarece aici sincronizate sunt, dupa cum se vede, in acelasi timp trei praguri critice neuniforme cu doua praguri uniforme. Inseamna ca daca e cunoscuta lungimea pragurilor [de fapt a intervalelor] uniform distribuite, T_k, atunci se pot determina pozitiile pragurilor critice corespunzatoare prin introducerea conditiilor de sincronizare. Astfel se demonstreaza ca intre doua praguri critice succesive uniforme se potrivesc doua diapazoane uniforme. si in fata lor a inca unui diapazon (fig. 29), sincronizat cu granita t_k-3. Pozitia pragurilor critice, in Tab. 7.

Tab. 7  Pozitia pragurilor critice pentru diapazoanele sincronizate ale proceselor de rangul [nivelul] 1 si rangul 2 Coloana I: Pragul / De baza, k; Intermediar, k; De baza, k-1; De baza, k-3;  
Coloana 2: Denumirea pragului: Coloana III: Formula de calcul penru varsta pragului  


.  Din rel. (3.48) si (3.59) rezulta,
adica, lungimea pragurilor uniforme este data de progresia geometrica de modul e. Totodata, raportul varstelor pragurilor sincronizate neuniform si raportul lungimilor pragurilor uniforme coincid:
.  Astfel, un diapazon oarecare, in care se produce sincronizarea pragurilor uniforme cu acelea [ale celor] neuniforme de tip exponential stabil, nu [va depasi] depaseste raportul varstelor pragurilor de (cu mai mult de) e³= 20,085...  ori.
.  Daca in diapazonul de sincronizare a pragurilor uniform distribuite intra caracteristicile proceselor de scala uniforma pana la ordin (k- 3), ne putem astepta sa apara, intre pragurile critice neuniforme [al] (t_k)[-lea] si [al] (t_k-1)[-lea], granita unor praguri uniforme, adica de ordinul al (k-1)-lea. In concordanta cu expresia (3.55), granitele pragurilor uniform distribuite sunt legate intre ele de expresia (3.52). Atunci intre granita a (t_k)[-lea] si a (t_k-1)[-lea] a diapazonului neuniform, pragurile egal alternante (T_k-1) vor da urmatoarea succesiune de relatii:

t_k-1+ T_k-1=  4,16∙T_k-1= 1,53∙T_k
t_k-1+ 2T_k-1= 5,16∙T_k-1= 1,90∙T_k
t_k-1+ 3T_k-1= 6,16∙T_k-1= 2,27∙T_k
t_k-1+ 4T_k-1= 7,16∙T_k-1= 2,63∙T_k
t_k-1+ 5T_k-1= 8,16∙T_k-1= 3,00∙T_k

.  Dupa cum s-a aratat in cap. 3.2. si 3.3. pentru dezvoltarea allometrica adica pentru procese de al treilea nivel ierarhic [le] sunt caracteristice relatiile (3.33) si (3.42) care dau diapazonul (pentru ambele procese de tip stabil si nestabil) raportului varstelor in doua puncte critice consecutive egal cu 19,943... (3.43). Ca rezultat ambele regimuri allometrice de tip stabil si nestabil sunt practic sincronizate cu diapazonul de sincronizare al proceselor de [rang] nivelul al 1-lea si al 2-lea. Totodata expresia (3.33) a procesului allometric stabil, egala cu e^e, reda portiunea stabila a dezvoltarii iar [portiunea] cea intermediara, de la e^e pana la sfarsitul diapazonului sincronizarii, e descrisa de relatia (3.41) a procesului allometric de tip nestabil, reprezentand faza de restructurare a sistemului.
.  Apreciem marimea portiunii fazei de restructurare, in raport cu intreaga lungime a diapazonului sincronizarii la:
.  In felul acesta, marele ciclu de sincronizare poate fi considerat [a fi] compus din faza allometrica, ce ocupa 3/4 din lungimea lui si din fazele de restructurare, care ocupa 1/4 din lungimea ciclului. Sa calculam pozitiile fazelor de restructurare din succesiunea pragurilor critice neuniforme:

Si in sfarsit, vom calcula/studia aici aceeasi sincronizare cu diapazonul critic, a ambelor procese, de tip exponential stabil si nestabil. Pentru aceasta vom folosi rapoartele critice (3.48) si (3.49) si consecinta lor (3.50), care constituie practic jumate din diapazonul de sincronizare, egal cu 9,905. Consideram ca pozitia granitelor celor doua (a perechii) procese exponentiale este in diapazonul de sincronizare:
.  Atunci, din succesiunea pragurilor neuniforme ale acestuji diapazon obtinem
.  Astfel, in diapazonul sincronizarii sunt reprezentate pragurile neuniforme ale proceselor:    
∙ exponential stabil,
∙ exponential stabil si nestabil,
∙ allometric stabil si nestabil, praguri, de formare a fazei de restructurare si de asemenea e reprezentata
∙ succesiunea de praguri uniforme de ordinul k si (k-1). Totalitatea ascestor praguri e data in Tab. 8.

Tab. 8  Asezarea lantului de praguri ale dezvoltarii ;
Coloana 1: Pragul /  De baza, k-1; exponential instabil: Uniform, k-1: Uniform, k-1: Uniform, k:
Coloana 2:  Varsta in lungimi de ciclu, T_k;


.  Totalitatea pragurilor aratata [mai 'nainte] a fost denumita de noi (Jirmunskii, Kuzimin, 1982) dezvoltare celulara. In lucrarea de fata se va folosi un termen mai adecvat - veriga dezvoltarii. Pentru calcularea pozitiilor granitelor verigii din procesul real trebuie sa stim lungimile fiecarui ciclu uniform, T_k, fie sa avem datele despre pozitiile catorva bine studiate praguri critice. In al doilea caz, e posibil sa apara complicatii legate de pozitia inceputului calculului/ si a datarii.
.  La baza verigii dezvoltarii [de crestere] apare, dupa cum se vede, un sistem dubludecimal [douazecist] de calcul (e³= 20,085), existent la popoarele multor tari, care se bazeaza pe numarul degetelor mainilor si picioarelor omului (Iushchevici, 1970). Remarcam de asemenea ca raportul lungimilor pragurilor de ordinele k si (k-3) e dat de,
.  Pragurile uniforme de ordin k din veriga de dezvoltare sunt trei, de aceea numarul general de praguri de ordinul (k-3) e 3e³= 60,2. Aceasta marime e tocmai sistemul 60-decimal, care e larg utilizat ca sistem de numarare/calcul (60 ani, ciclurile calendarelor orientale, ora de 60 de minute, minutul de 60 sec.)
.  In datele experimentale adesea se intalnesc rezultate de sincronizare a constantelor critice de al doilea si al treilea nivel oerarhic (e si e^e). Mai incolo ne vom intalni cu exemple ale unor astfel de sincronizari. La baza lor sta relatia,
sau
unde n si m sunt "fractii potrivite" (*) pentru e (Hincin, 1961).
............
(*).  "Fractii potrivite" se numeste numarul sau functia ce apare la intreruperea unei functii periodice. Functie periodica (conf. Dict. En. Mate., 1988) se numeste o expresie de forma,
unde a_o e orice numar intreg (nu neaparat pozitiv), a₁, a₂, ... a_n - numere naturale.
............
Pentru numarul e "fractiile potrivite" sunt reprezentate de succesiunea 2/1, 3/1, 8/3, 11/4, 19/7, 39/106,...Multe distributii "gasesc" tocmai aceste fractii potrivite caci mai departe ele [?] sunt reprezentate de mai multe numere. De aici, in succesiunea punctelor critice ale dezvoltarii sistemelor, ne putem astepta la mai puternice fenomene critice in preajma valorilor:
.  Sincronizarea pragurilor critice, apartinand de diferite nivele ierarhice, mecanismele de interactiune dintre nivele in punctele critice sincrone prezinta interes si pentru cercetarile de detaliu originare[empirice?]. Atragem atentia si asupra legaturii pragurilor verigii dezvoltarii cu constanta lui Feignbaum (1980), care e data de fractia,
unde, λ_n - valoarea parametrului la care perioada se dubleaza de n ori. Sa consideram doua praguri de baza din veriga dezvoltarii e³ si e² de [ca] parametri critici. Gasim pozitia acestor puncte in paleta marimilor critice, pentru care se adevereste relatia,
.  Rezolvand aceasta ecuatie patratica in functie de b, gasim radacinile ei: b₁- e; b₂= e(e- 1)= 4,670774... Ultima valoare foarte putin difera de constanta lui Feigenbaum: diferenta fiind 0,000337. Se poate arata ca

....................................................................//..............................................................











...