Metoda (si exemple) de rezolvare a ecuatiilor

.

(Nu imi place sa repet una si aceeasi, deoarece am mai scris undeva pe tema cutare. La dorinta lui mm scriu, daca mai trebue detalii nu-i nici o problema)

Stim ca exista citeva metode de calcul numeric (cine nu stie sa se documenteze mai bine, aici doar ceva reamintesc).

Aici voi atrage atentia la metoda tangentelor si coardelor caci doar pe ele le vad ca se pot pune in aplicatii (metoda bisectiei nu ii vad aplicabilitatea).

Aceste metode de calcul numeric au o formula de forma recursiva, la care termenul posterior depinde strict de termenul anterior. Termenul initial se cunoaste. Astfel noi tindem sa aproximam tot mai mult solutia cautata pe cutarele interval analizat (adesea se noteaza cu [a,b]).
Formula la metoda tangentelor asa arata:
Formula la metoda coardelor:
Aceste formule eu le mai numesc formulele Flotantelor.
Flotanta - este o functie care contine f(x) si un indice (al recursivitatii) care recursiv permite gasirea solutiei.  Nu incurcati cu Harmonica, caci harmonica determina termenul general al sirului (al ecuatiei recursive).
Prin e  s-a notat extremitatea fixa care este una din valorile a sau b
ea se determina in cazul daca:
Cealalta valoare va fi numita ca aproximare initiala a solutiei sau eu ii mai zic valoarea initiala x₀.

Ce inseamna derivata unei functii?! Din ce cauza derivata unei functii (ce indeplineste conditiile de derivabilitatea) este o alta functie (doar intr-un singur caz este functia insusi - e vorba de exponentiala e^x) este tot o functie ?!
Derivata indica cum are loc procesul [de] crestere (a ratei) dintre valoarea funcției atunci când se modifică argumentul.

Analog acele formule de calcul numeric descriu si ele niste functii. Aceasta e foarte important moment care spun.
Ca sa intelegeti, experimentati cit mai mult, faceti mai multe exercitii.
Iata, luati o anumita functie care indeplineste conditiile ca se poate aplica una din cele 2 metode mentionate de mine mai sus, gasiti intervalul unde se ascunde solutia, si incepeti sa calculati recursiv [iterativ] x1,x2,...,x10 (cine vrea poate mai multe puncte sa extinda).
Acum construim un sistem ortogonal de coordonate la care valorile de pe axa ordonatelor(y) vor fi:
iar pe axa absciselor (axa x) se vor pune:
Construim punctele acestea si le unim aproximativ cu o curba. Ce iese?! O asimptota orizontala care tinde spre solutia noastra cautata.

Luati acum punctul de extremitate fixa o alta valoare (dar sa respecte cerintele caci aplicind metoda respectiva ajungem la aceeasi solutie de care am studiat-o acum mai sus). Si la fel procedati cum am spus, gasiti vreo 10 valori a termenilor succesivi si in acelasi sistem (sau un alt sistem) pentru axa y dam aceste valori, iar la axa x dam valorile indicilor. Ce vedem?! Vedem o asimptota orizontala limita care tinde la solutia noastra cautata. Aceasta asimptota seamana cu cea analizata mai sus doar ca poate fi putin mai sus sau jos sau putin-putin modificata.

Asta se studiaza caci determinind care va fi acea asimptota din care reesa din una din cele doua formule, aruncind apoi o limita la infinit noi gasim solutia precisa a ecuatiei.

Aceasta functie asimptotica mai este numita si termenul general al sirului recursiv, eu ii spun asa o denumire (inventata la dorinta de nenea meteoru' , am dorit ceva un h vechi grecesc, dar  nu este adaug χ Admin) de functia harmonica si asa o notez cu un χ de n sub χ fiind indecele f(x)  adica Harmonica functiei f(x), notam:
Solutia ecuatiei pe intervalul [a,b] este:  

Eu cum am mai spus nu is mare matimatician si stau chiar rau cu aritmetica, deaceea cam slab cu exemplele. Va dau niste  exemple de gradi.
Iata sa luam metoda tangentelor.
Fie avem o functie  sa ii gasim solutia ei (pe intervalul [-3;3] aplicind metoda tangentelor).
Intii de toate trebue sa ii determinam functia harmonica, iar apoi sa calculam limita la infinit in final obtinem solutia cautata.
scrim formula tangentelor (adica fie Flotanta va fi formula tangentelor) si incepem succesiv sa determinam termenii x1,x2,x3,.. Vom observa (din start cind vom face Flotanta, adica: ramine acelasi la fiecare iteratie n fractia 2/3 creste cu o putere.
Deci termenul general al sirului recursiv:
este:
Sau altfel spus:
Iar solutia: intradevar este solutia functiei pe intervalul de valori analizat (admisibil).

Daca vom continua sa calculam harmonicele la functiile de genul
 vom observa ca ele au forma:
(din cauza ca extremitatea fixa se noteaza cu e ca atare ar fi mai bine sa o aplicam si asa trebue sa arate:
si limita lui lambda la infinita da valoare Harmonicii sa fie 0. Intradevar toate aceste categorii de functii trec prin origine deci au solutia 0.

Aceasta a fost exemplu de gradi.
De exemplu sirul recursiv Fibonaci invatatii i-au gasit  Harmonica acestei functii care e ceva mai evoluat ca exemplul cel de la gradi.

Eu nu am calculat limita sirului (cu toate ca nu e strict crescator) dar se vede la mintea cucosului ca e infinita.
Similar de exemplu are o forma si Harmnica numerelor Pell.
Ce vreau sa spun este caci determinarea flotantei e greuti si are o forma foarte diocheata.
Cu sirul Fibonaci nu e interesant ca aici nu merge vorba de solutii.

Iata care e interesat si vrea sa evolueze isi poate face asa o joaca (atentie!! acestea scrise mai jos mai necesita ceva sa ma mai gindesc caci ceva nu iese ok chir daca aplic in wolfram alpha. Cert este ca:
Stiindu-se Flotanta si fiind egalata cu Harmonica (o dam noi la dorinta care dorim) sa se determine functia insasi f(x). De indata ce se afla f(x), am mai zis... gasim un interval unde ar putea sa se ascunda solutia, aruncam o limita harmonicii acestei functii si daca limita harmonicii se potriveste cu solutia inseamna ca eu nu va zic povesti, asa un exemplu pornit la nimereala:
Avem flotanta ( lucram cu metoda tangentelor):

Presupunem ca ii cunoastem deja Harmonica (daca va jucati construiti la dorinta o functie).
Adica:
, acum se pune problema determinarii cine este f(x) si f(e) (valoarea lui f(e) este o constanta nedeterminata inca [caci nu stim cine e f(x)], deoarece e este o constanta). In asa fel cica am ajuns sa rezolvam ecuatii diferentiale.
Scriem formula tangentelor si o egalam cu harmonica ce o alegem, in wolfram alpha, iar la  meniul "Differential equation solution"
vedem care este functia cautata.
Am aruncat niste exemple pe wolfram, doar ca nu stiu in ecuatiile diferentiale cum se afla acea constanta c1 particulara.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D%283x%5E2-2x%29%2F%282x%5E2-3%29
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D3%2F%28x-1%29-2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D2%2Fx
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D3%2F%28x-2%29
Observam ca rar gasim caz cind si harmonica si funcitia sa aiba o forma simpla.

Azi m-am gindit ce sa ne complicam noi cu ecuatiile diferentiale (vorbesc despre joaca cu alcatuitul harmonicilor si determinarea apoi functiei), daca noi aplicind metoda tangentelor lucrurile par foarte simple.
Ia priviti:
Din aceasta ecuatie trebue sa aflam cine este f(x) si f(e), acesta din urma se determina indata daca se cunoaste cine este f(x). Deoarece e este o constanta la fel si f(e) va fi o constanta si fie o notam cu k.
Asa tip de ecuatii eu nu stiu cum se chiama si rezolva oficial azi, eu le-as boteza: ecuatii diferentiale de ordinul 0 (deoarece derivata lui f(x) este de ordinul 0 in acea ecuatie).

Si pentru verificare a ceea ce am spus pina acum, aveti functia, aveti harmonica ei, aruncatii o limita si va veti verifica daca limita harmonicii corespunde cu solutia cautata.

Similar cred ca se face si pentru ecuatii cu mai multe variabile in R si in C. Acolo presupun ca vom avea plane curbate in spatiu la care se duc plane drepte de la unu la celalta extremitate, la intersectia cu planul axei abciselor se gaseste noua aproximatie. Treburile acestea mie imi sunt foarte complicate.

Sisteme de coordonate eu cred ca sunt o infinitate: Hiperbolice, parabolice, circulare (i se mai spun polare), eu mai propun: exponentiale-logaritmice (in R sistemul functioneaza cu cadranele I,II,IV), sinusoidale,  etc. Adica se pot construi sisteme de coordonate  la dorinta in dependenta de ce functie noua ne convine asa incit sa putem rezolva problema mai usor. Fie directa in noul sistem ecuatia sa fie mai usor rezolvabila, fie in noul sistem determinarea harmonicii si limitei ei sunt mai usoare.

Am mutat aici o parte din subiectul "Metode de rezolvare a ecuatiilor" si am facut mici corectii in text.
Admin