Nivele critice II

In jos

Nivele critice II

Mesaj  mm la data de Mier Mai 23, 2018 9:29 pm

.  O a doua carte, scrisa de A. V. Jirmunskii & V. I. Kuzmin, dedicata nivelelor critice de la curbele de crestere ale sistemelor biologice, a aparut in 1990, la ed. Nauka, Leningrad. Titlul: Critical levels in the development of natural systems (o varianta a aparut si in lb. engleza) sau, Критические уровни в развитии природных систем. Cartea, in mare urmareste cam acelasi traseu de idei ca si cartea mai veche, aparuta in 1982, a carei traducere se afla pe acest forum.
.  Totusi, dupa 8 ani, s-au adunat suficiente materiale si autorii au procedat la o serie de modificari fata de vechea editie. In mod deosebit mi-a atras atentia capitolul 3. din noua carte si prezint in acest topic traducerea lui.


3. Modelul nivelelor critice din dezvoltarea sistemelor


.  In acest capitol, pe baza analizei proprietatilor ecuatiilor de crestere, au fost gasite niste constante critice care, transpuse pe un model ( o modelare) de crestere, formeaza o ierarhie de constante critice, [care] delimiteaza domeniile in care se conserva caracteristicile sistemelor, pe diferite nivele ierarhice. La baza acestei ierarhii stau functiile puterilor numarului lui Neper (e):
...(1/e)1/e, 1/e, 1, 0, 1, e, ee sau exp(e), e(exp(e))....
.  Conditiile de sincronizare ale granitelor critice determina celula dezvoltarii. In urmatoarele capitole analiza uriasului volum (de cazuri) de crestere de sisteme arata ca ierarhia constantelor critice si sincronizarea lor evidentiaza o importanta informatie asupra legitatilor de formare a ritmurilor de timp si spatiu (spatiotemporale), ca si a structurilor sistemelor naturale de diverse nivele ierarhice.


3.1. Cateva proprietati ale ecuatiei de crestere


.  S-ar putea oare, pe baza ecuatiei de crestere, determina restructurarile, punctele critice, pe baza simptomelor morfofunctionale sau a (pe baza) rezultatelor schimbarii starilor de faza? Avand modelul de crestere, s-ar putea determina momentul cand in sistem se vor produce transformarile calitative? Si, in plus, cunoscand pozitia unui punct critic, cum sa se determine pozitiile altor puncte critice, cu rangul lor?
.  Pentru a raspunde acestor intrebari vom examina proprietatile solutiei ecuatiei de crestere in forma sa particulara (2.4) apoi vom trece la generalizari, adica vom cerceta ecuatia:
dx/dt= k∙x(t- τ)  (3.1)
la k> 0, τ> 0. Vom cauta solutia acestei ecuatii sub forma (2.13), unde z= u + iv.
.  De aici, ecuatia caracteristica are forma:
z∙exp(z∙t)= k∙exp[z(t- τ)]  
sau,
 z= k∙exp(-z∙τ)  (3.2)
Conform formulei lui Euler,
 exp(-i∙v∙τ)= cos(v∙τ) - i∙sin(v∙τ),
Atunci,
 u+ i∙v= k∙exp(-u∙τ)∙[cos(v∙τ)- i∙sin(v∙τ).

Separand partea reala si partea imaginara, obtinem:
 u= k∙exp(-u∙τ)∙cos(v∙τ),  (3.3)
 v= -k∙exp(-u∙τ)∙sin(v∙τ).  (3.4)  
.  Pentru procesele de crestere fara oscilatii v= 0, traiectoria cresterii are forma reprezentata in fig. 14.





La v≠ 0 si u< 0 se realizeaza un regim oscilant (fluctuant) de amplitudine exponential descrescatoare (fig. 15), iar la v≠ 0 si u> 0 (aceste radacini se numesc pseudopozitive) oscilatiile au o amplitudine exponential crescatoare (fig. 16). Pentru procese de crestere fara fluctuatii, din (3.3) obtinem,
 u= k∙exp(-u∙τ)   (3.5)
.  Rezolvarea grafica a acestei ecuatii se da in fig. 17. Se obtine aici o singura solutie si e determinata de marimea kτ. De aici, pentru v= 0, exista un singur regim exponential de crestere (u>0):
x= xo∙exp(u∙t)
Daca v≠ 0 si u> 0, atunci in sistem se vor produce oscilatii cu amplitudine exponential crescatoare, care sunt capabile sa distruga orice sistem. De aici [rezulta ca], pentru garantarea unei cresteri stabile e necesar ca sistemul sa se dezvolte intr-un domeniu, in care se realizeaza o crestere exponentiala dar din care [sa] lipseasca oscilatiile cu amplitudine exponential crescatoare. [Acest domeniu] il gasim in spatiul parametrilor ecuatiei (3.1) , unde acest lucru e posibil.
.  Din (3.4):
exp(u∙τ)= - k∙τ∙sin(v∙τ)/ (v∙τ)
sau, dupa logaritmare,
u∙τ= ln(k∙τ)+ ln[-sin(v∙τ)/ (v∙τ)],   (3.6)
.  Intrucat logaritm din numar negativ nu exista , valorile u> 0 la v≠ 0 pot sa apa numai in intervalele vτ de la π la 2π, de la 3π la 4π, etc. (fig. 18). In felul acesta conf. ecuatiei (3.6), cel putin in domeniul 0< v∙τ >π, lipsesc radacinile ecuatiei caracteristice cu partea reala pozitiva si coefricient nenul al partii imaginare.



.  Impartind (3.3) la (3.4) obtinem,
u∙τ= -(v∙τ)∙ctg(v∙τ).
.  De aici pornind pentru aparitia radacinilor cu u> 0, trebuie sa fie indeplinita conditia
-(v∙τ)∙ctg(v∙τ)> 0.
Totodata [trebuie ca si] vτ≠ 0 si ctg(vτ)< 0. Cazul limita (de granita) corespunde cu aparitia radacinilor cu parti reale pozitive la ctg(vτ)= 0, de unde (rezulta ca) in domeniile in care exista radacini pseudopozitive de la π la 2π, de la 3π la 4π, s.am.d., aceasta conditie da:
v∙τ= (3/2)π+2πn,   n= 0, 1, 2...   (3.7)
Din (3.6) uτ≥ 0, corespunde conditiei,
 k∙τ≥ -(v∙τ)/sin(v∙τ)
sau, considerand  (3.7) pentru cazul de granita,
 k∙τ= v∙τ= (3/2)π+ 2πn,   n= 0, 1, 2, ...
In felul acesta,
 kπ= (3/2)π    (3.8 )
este prima valoare incepand cu care in sisem apar oscilatii cu amplitudine crescatoare. Inlocuind aceasta valoare in ec. (3.5), obtinem:
 u∙τ= (3/2)π∙exp(-u∙τ),
care, dupa rezolvarea grafica sau numerica, da:
 u∙τ= 1,293129638   (3.9)
.  Aceasta conditie ne arata ca in spatiul parametrilor sistemului (3.1) se afla granita (3.8 ), mai jos de care se realizeaza exclusiv crestere exponentiala, iar mai sus (de ea- granita) in sistem apar oscilatii cu amplitudine exponential crescatoare (fig. 19).



Atata timp cat caracteristicile sistemului aflat in dezvoltare (crestere) se gasesc in domeniul I din fig. 19, e permisa o crestere exponentiala stabila. Traversarea granitei (3.8 ) in domeniul II din fig. 19 conduce la aparitia in solutia ecuatiei (2.4) [identica cu (3.1)] de oscilatii cu amplitudine exponential crescatoare, prin urmare domeniul II fig. 19 este prohibit pentru dezvoltare.
.  Daca in procesul cresterii are loc o usoara schimbare a intarzierii, atunci cresterea exponentiala a procesului poate avea loc doar pana la granita (3.8 ). In fig. 20 e prezentata o schema care arata ca [concomitent] cu variatia intarzierii pe masura apropierii de momentul (viitor) t1 sistemul depaseste granita domeniului crsterii exponentiale. Inseamna ca tendinta exponentiala poate continua numai pana la momentul t1. Pentru stabilizarea sistemului impotriva depasirii granitei (3.9) trebuie fie sa se micsoreze tempoul cresterii exponentiale, fie sa se micsoreze intarzierea, fie ambele astfel ca sistemul sa se intoarca in domeniul cresterii stabile.  
.  Cresterea amplitudinii oscilatiei la intrarea in diapazonul critic, dat de rel. (3.9), se manifesta in datele experimentale sub forma unei imprastieri. Aceasta e o proprietate obisnuita specifica punctelor critice, pentru procese de diverse naturi. Astfel, Patasinskii si Pokrovskii (1975) arata ca pe masura apropierii de punctul critic in substanta cresc fluctuatiile si remarca o anumita analogie cu fenomenele fluctuante din diversele puncte critice. Urâson (1973) observa ca variatiile individuale ale dimensiunilor corpului omenesc, in cresterea postembrionara, se amplifica in perioada maririi vitezei de crestere. In legatura cu această "crestere a variabilitatii simptomelor morfologice la varstele ce corespund cu perioada maturizarii sexuale, poate fi explicata prin influenta anumitor factori biologici, in special prin influenta deosebita la varsta fiziologica cand indivizii traverseaza punctele critice", (pag. 26). Un punct de vedere similar a avut si Thompson (1945).
.  In punctele critice se constata cresterea (receptivitatii) sensibilitatii sistemului la influente externe (Patasinskii, Pokrovskii, 1975) si nasterea unei corelatii intre elementele sistemului ce nu dispar la scara macroscopica (Fischer, 1968).
.  Granita domeniului de crestere exponentiala (3.9) delimiteaza spatiul parametrilor ecuatiei dezvoltarii (3.1), unde procesul dezvoltarii decurge destul de stabil. In acelasi timp exista o tendinta de crestere in zona, cat se poate de apropiata de granita (3.8 ), de asa natura ca asigura sporuri specifice maxime si ca urmare sistemul poate atinge o dimensiune mai mare. Experimental au fost stabilite mecanismele selectionarii indivizilor pe baza sporurilor specifice maxime (Rows, 1964): la mormolocii [broastei] de laguna Rana Pipiens a fost izolat un hormon ce deprima indivizii cu crestere inceata, ceea ce duce la pieirea lor.
.  Se pune intrebarea: pana cand trebuie sa se departeze [sistemul] de granita (3.8 ) pentru ca sistemul sa-si poata continua cresterea? Rezolvarea acestei [probleme] e legata de necesitatea de a restructura in asa fel sistemul incat in dezvoltarea sa viitoare, pe parcursul catorva perioade de timp, sistemul sa poata creste stabil. Asta cere pornirea mecanismelor de restructurare ale sistemului sub [influenta] viitoarelor caracteristici ale mediului, tinand cont ca orice [mecanism de] conducere se bazeaza pe prognoze. In felul acesta, mecanismul de restructurare a sistemului din timpul dezvoltarii stabile va trebui pe viitor sa fie accelerat, ceea ce inseamna o viteza de crestere a sistemului proportionala cu viitoarele sale caracteristici. Sa scriem sub forma diferentiala ecuatia unui astfel de mecanism:
 dx/dt= k∙x(t+ τ)   (3.10)
Pentru a integra aceasta ecuatie trebuie sa se cunoasca functia de inceput
 x(t)= φ(t)  ,  t∈ [to , to+ τ]
.  Anohin (1962) considera aceasta reflectare in avans ca pe o adevarata caracteristica a materiei vii, care garanteaza adaptarea sistemelor biologice la viitoarele schimbari ale mediului. Aceste fenomene se numesc preadaptari (Henderson, 1070). Ce-i drept, prognoza viitoarelor stari se face pe baza extrapolarii tendintei de ordonare/organizare in viitor, considerand ca [acesta] a fost [deja]. Totusi, variatiile in trepte ale tendintelor dezvoltarii contrazic o asemenea reprezentare.  Cu cat e mai lunga perioada, in care se formeaza o tendinta, cu atat mai scurt ramane intervalul [de timp alocat] viitoarelor schimbari ale caracteristicilor sistemului, in care [interval] se va continua tendinta de ordonare. Coexistenta, in procesele de dezvoltare, a mecanismelor de accelerare si de intarziere este descrida de ecuatia lui Hamilton. Pentru un proces dinamic, reprezentat de ec. (3.1), functia lui Hamilton, H are forma:
 H= - ψ(t)∙k∙x(t∙τ),
iar variabila de legatura se determina din scuatia:
 dψ(t)/dt= - ∂H/∂x= k∙ψ(t+ τ)
In felul acesta, pentru un sistem, a carui dezvoltare e descrisa de o ecuatie diferentiala de tip intarziere, variabila de legatura e data de o ec. de tip "in devans"[?].
.  Sa studiem structura solutiei ecuatiei (3.10). Ecuatia ei caracteristica are forma: 
z∙exp(z∙τ) = k∙exp[z(t+ τ)]
 sau, 
zτ= kτexp(tτ)  (3.11)
Pentru v= 0, u> 0, ca si mai inainte, se va realiza un regim de crestere exponential. In fig. 21 se dau variante de rezolvare grafica a acestei ecuatii, de unde se vede ca cea mai mare valoare kτ, la care este o solutie a ecuatiei caracteristice (3.1), corespunde conditiilor:
kτ= 1/e,   (3.12)
uτ= 1.      (3.13)



Aceasta ne dovedeste ca regimurile exponentiale de crestere pentru ecuatiile de tip in devans se vor pastra in zona de sub granita (3.13).
.  Din (3.9) si (3.13) rezulta domeniul in care sunt realizate regimurile de crestere stabila (v. fig. 22).La iesirea procesului peste granita (3.9) pentru stabilizarea caracteristicilor sale e necesar sa se restructureze parametrii astfel incat sistemul sa se afle in domeniul in care procesele de tip intarzietor si accelerator[in devans] se pun de acord. Inseamna ca pentru stabilizarea sistemului pe seama schimbarii sporurilor relative e necesar un salt al sporurilor relative nu mai mic de 1,29 ori, adica tranzitia intre granitele domeniului cresterii stabile, pentru ecuatiile de tip intarziere (3.9) si de tip in devans (3.13), ne da raportul tempourilor u1/u2= 1,29.
.  Acest lucru permit -, cunoscand tempoul de inceput al cresterii, dependenta τ= f(t) si dimensiunea de inceput a sistemului - sa se determine felul cresterii sale pe viitor si pozitia punctelor sale critice (v. fig. 23).



Tempoul cresterii pe curba [reprezentata] la scara pe jumatate logaritmica este unghiul pantei unei parti liniare a dependentei cu axa absciselor [curba exponentiala se transforma in linie dreapta in coordonate logaritmice]. Masurand aceasta marime se poate pune valoarea ei in cadranul I, fig. 23. Aceasta marime a tempoului cresterii exponentiale se poate realiza numai pana la granita (3.9), care decide marimea intarzierii, la care se schimba tempoul cresterii. Conform relatiei τ= f(t) din cadranul IV, fig. 23, marimea critica a intarzierii dicteaza momentul aparitiei punctului critic si pe ea [pe baza ei] se stabileste sfarsitul regimului exponential cu tempou de incepere. Micsorand tempoul de incepere de 1,29 ori, obtinem noul nivel al tempourilor de cerestere, caruia ii si determinam unghiul pantei in cadranul III din fig. 23.
.  In felul acesta, in baza determinarii tendintei de crestere si a varstelor de aparitie a perioadelor critice pe dezvoltarea exponentiala sta dependenta intarzierii de factorii interni si externi. Clarificand structura unor astfel de dependente, [acestea] pot fi folosite pentru cercetarea si prognozarea particularitatilor proceselor de dezvoltare (Kuzmin, Lenskaia, 1974; Ciuev s.a., 1975; Kobrinskii, Kuzmin, 1981).
.  Ecuatia de dezvoltare (3.1) apartine de tipul instabil. In procesele de dezvoltare deopotriva cu stadiile crestere exista si stadii la care dimensiunea sistemului scade. Ele sunt descrise de o ecuatie de dezvoltare de tip stabil:
dx/dt= - k∙x(t- τ),
unde, k> 0, τ> 0. Vom cauta solutii de forma exponentiala, la aceasta ecuatie, si obtinem ecuatia caracteristica,
z= - k∙exp(uτ)   (3.14),
a carei rezolvare grafica e data in fig. 24. Cea mai mare valoare kτ, pentru care gasim solutii, corespunde cu:
kτ= 1/e,   (3.15)
uτ= - 1   (3.16)
.  In felul acesta relatiile (3.8 ) si (3.9) fixeaza limitele spatiului parametrilor ecuatiilor dezvoltarii de tip nestabil, iar (3.15) si (3.16) pe acelea ale ecuatiilor dezvoltarii de fip stabil. Relatiile (3.9) si (3.16) determina/fixeaza in mod substantial ingradirile (granitele) in limitele de aplicabilitate a functiei densitate de repartitie din matematica statistica, tocmai de aceea folosita la prelucrarea datelor experimentale, orientate pe aparitia diapazoanelor, inauntrul carora totalitatea [continuturilor] statistice coincid pe deplin (Evtihiev, Kuzmin, 1982; Korbinskii, Kuzmin, 1981).


3.2  Nivelele critice ale modelelor
de dezvoltare allometrica

.  Sa examinam proprietatile comune (generale) ale modelului de dezvoltare de tip stabil, redat de ecuatia (2.5):
dx/dt= - k(t)∙x[t- τ(t)]  (3.17).
Vom cauta solutii de forma:
x= xo∙exp[- z(t)∙t].  (3.18)
Deoarece k(t) si τ(t) sunt variabile, tempoul schimbarii dimensiunilor sistemului il cautam sub forma unei functii de timp.
.  Din (3.18) urmeaza:
dx/dt= xo∙[ - t∙dz(t)/dt- z(t)]∙exp[- z(t)t],  (3.19)
si inlocuirea (3.18) si (3.19) in (3.17) conduce la ecuatia
t∙dz/dt+ z(t)= k(t)∙exp[ - (t- τ)∙z(t- τ)+ t∙z(t)].  (3.20)
Deoarece nu poate exista o marime a intarzierii mai mare decat varsta sistemului, ceea ce ar putea schimba clasa ecuatiei (3.17), punctului critic t* ii corespunde conditia,
t*= τ.  (3.21)
Raportul (3.21) e considerat de obicei ca fiind caracteristic unei stari critice. Clasa proceselor, la care sporurile relative scad cu varsta, e data de conditia:
dz(t*)/dt≤ 0.  (3.22)
.  Atunci din (3.20) si (3.21) rezulta
dz(t*)/dt∙t*+ z(t*)= k(t*)∙exp[ - t*∙z(t*)].  (3.23)
.
Tinand cont de (3.22) transcriem (3.23) sub forma
0≥ t*∙dz(t*)/dt= - z(t*)+ k(t*)∙exp[- t*∙z(t*)].  (3.24)
Din (3.24) obtinem
z(t*)≥  k(t*)∙exp[ - t*∙z(t*)].  (3.25)
Inmultind ambele parti ale inegalitatii (3.25) cu t*, obtinem
t*∙z(t*)≥  t*∙k(t*)∙exp[ - t*∙z(t*)].
Rezolvarea grafica a cestei inegalitati (v. fig. 23) arata ca e indeplinita numai daca  
t*∙z(t*)=  t*∙k(t*)∙exp[ - t*∙z(t*)].
Atunci,
k(t*)∙t*= 1/e  (3.26)
si
z(t*)∙t*= 1.  (3.27)
De aici, inlocuind (3.27) in (3.18), obtinem,
x*/xo= 1/e  (3.28)
Din (3.26) si (3.27) rezulta
z(t*)/k(t*)= e
sau
z(t*)= k(t*)∙e   (3.29).
Relatiile (3.26) si (3.27) sunt caracteristice conditiilor la limita ale dezvoltarii, asa incat produsul variabilelor k(t) si τ(t) nu poate fi mai mare decat valoarea data de ec. (3.26). De aceea atingerea marimii k(t) a granitei (3.26) caracterizeaza sfarsitul regimului stabil de dezvoltare.
.  Inmultind toata ecuatia (3.29) cu t* si inlocuim valorile obtinute in ec. (3.18). Deoarece conditia (3.21) da estimarea solutiei (in partea de jos, inferioara), obtinem:
x*/xo≥ exp[ - z(t*)∙t*]= exp[ - k(t*)∙e∙t*],  (3.30)
.  In capitolul 1.3. spuneam ca sunt foarte raspandite procesele allometrice la care k(t)= B/t, adica sporurile relative (scad) invers proportional cu varsta sistemului. Analizam regimul allometric si inlocuim k(t)= B/t in inegalitatea (3.30). Atunci
x*/xo≥ exp( -B∙e),  (3.31)
care ne dovedeste ca estimarea sfarsiturilor transformarilor stabile in partea de jos este o constanta definita de parametrii procesului allometric B, adica de unghiul pantei traiectoriei procesului, pe portiunea sa liniara (liniara, in coordonate dublu logaritmice).
.  Estimarea traiectoriei procesului in partea superioara e data de cazul cand lipseste intarzierea, adica procesul e descris de ecuatia
dx/dt= - (B/t)∙x,
a carei integrala este functia putere [power function]
x= A∙t-B,
si ca urmare estimarea in partea de sus e data de raportul
x*/xo≤ (t*/to)B.  (3.32)
.  Din (3.31) si (3.32) rezulta
exp( - Be)≤ x*/xo≤ (t*/to)-B,
de unde
t*/to≤ ee= 15,15426224...   (3.33)
In consecinta, raportul dintre valorile argumentelor corespunzatoare sfarsitului si inceputului dezvoltarii allometrice stabile, este o marime constanta, egala cu ee (Kuzmin, Jirmunskii, 1980a, 1980б).
.  Cercetarea ecuatiei (3.17) pentru regimuri allometrice, adica la k(t)= B/t, pe baza teoremei lui Krasovskii (1959) a demonstrat ca stabilitatea solutiei triviale si asimptotice se asigura pana la (inclusiv) punctul critic (Jirmunskii, Kuzmin, 1982). Din (3.26) rezulta ca pentru (marimea) variabilei de baza (exista un) exponent (putere) B (unghiul pantei in scala logaritmica) [care e] o constanta egala cu
B= 1/e.  (3.34)
.  In felul acesta rapoartele critice determina concomitent valoarea functiei si a argumentului din punctele critice succesive urmatoare si caracteristica (aspectul) curbei dintre ele, ceea ce isi gaseste oglindire in datele experimentale din teoria (aparitiei) fenomenelor critice (Fischer, 1968, Pataşinskii, Pokrovskii, 1975: Ma, 1980). In aceasta teorie a fost introdusa ipoteza asemanarii (Pataşinskii, Pokrovskii, 1975) , conform careia dintr-un mare numar de caracteristici, ce au fixat pozitiile [punctelor] critice, se evidentiaza una - lungimea caracteristica. Se cerceteaza dependenta ei de diferite temperaturi (T- Tc), unde T si Tc corespund cu temperaturilor actuala si critica. Dependentele pentru schimbarea restului variabilelor din punctele critice invecinate se stabilesc folosind rapoartele teoriei ritmicitatii. La momentul actual, aceasta cale suscita un mare interes deoarece pana la introducerea unui sistem unic de etaloane pentru masurarea diverselor marimi fizice se fac incercari de utilizare a unui singur etalon - de timo, iar restul lor sa se calculeze folosind dependente de tip functie exponent, bazate pe constante fundamentale.
.  Diferitele caracteristici fizice [masa, volum, lungime, etc.] reprezinta interconexiuni dintre stari de sisteme, de acelasi nivel ierarhic ori de nivele ierarhice diferite. De aceea ne putem astepta ca valorile argumentului (exponentului) [functiei putere] sa reflecte informatia, despre caracteristicile caror nivele ierarhice sunt in datele analizate. De exemplu, dependenta intre masa corpului si masa scheletului la animale (domestice) e descrisa de o relatie in care B= 1, ceea ce dovedeste (defineste) apartenenta acestor caracteristici de un singur nivel ierarhic. Reletia intre lungimea corpului si lungimea capului la om este B= 2.6 [?], adica datele se refera la diferite nivele ierarhice (lungimea corpului e o caracteristica a intregului iar lungimea capului - a unei parti a lui).
.  Dupa rezultatele cercetarii experimentale, pe care ni le aduc la cunostinta Fischer (1968) si Ma (1980). in relatiile exponentiale [f. putere] [dintre] capacitatea calorica si magnetizarea spontana de la (T- Tc), argimentele [functiei putere] in primul caz sunt (reprezentate de) diapazoanele 0,11- 0,17, 0,13- 0,19, 0,125± 0,15, 0,14± 0,06, 0,07- 0,14, iar in al doilea caz de 0,32- 0,36, 0,32- 0,39, 0,312± 0,03, 0,37± 0,04. Aceste valori sunt apropiate respectiv de 1/e2= 0,135335283 si 1/e= 0,367879441. Ne putem convinge ca si pentru restul caracteristicilor pentru care se aduc date experimentale, le corespund - un sir de - rapoarte critice, ce vor fi studiate amanuntit in cap. 6.
.  In felul acesta marimea/valoarea exponentului [argumentului functiei putere] poarta [cu el] informatia despre apartenenta marimilor analizate de anumite nivele structurale. In acest caz, doua valori/marimi [ce apartin] de un acelasi nivel structural, in cazul studiului (comparat, impreuna), nu ne dau informatie noua. De unde rezulta ca indeplinirea conditiei (3.34) pentru nivel[interval] allometric este simptom specific pentru variabila de baza.
.  Pentru ecuatia allometrica de tip nestabil,
dx/dt= k(t)∙x[t- τ(t)],  (3.35)
vom cauta solutia de forma (2.13),
x= xoexp[z(t)∙t].
Atunci ecuatia caracteristica are forma:
t∙dz(t)/dt+ z(t)= k(t)∙exp[z(t- τ)∙(t- τ)- z(t)∙t].
Folosind inegalitatea (3.21), obtinem estimarea solutiei ecuatiei de tip nestabil, in partea de jos:
t∙dz(t)/dt+ z(t)≥ k(t)∙exp[- z(t)∙t].  (3.36)
Rescriem (3.36) folosind inegalitatea (3.22)
0≥ t∙dz/dt≥ -z(t)+ k(t∙exp[ -z(t)∙t]
de unde,
z(t)≥ k(t∙exp[ -z(t)∙t]
 (3.37)
.  In cap. (3.1) s-a aratat ca in cazul egalitatii, din ecuatia (3.37) apar radacini pseudopozitive la k∙τ= (3/2)π (v. 3.2). Pentru aceeasi valoare k∙τ e indeplinita (si) inegalitatea (3.37). Totodata conf. (3.9) zτ= 1,293129638.. Atunci
z/k= 2∙1,293129638/(3π)
sau
z(t)= k(t)∙2∙1,293129638/(3π).  (3.38)
[sau, z(t)= k(t)∙0,274410631]
.   Aceasta egalitate este indeplinita in punctul critic, pentru care [dupa care?] merge [porneste?] un regim oscilator cu amplitudine exponential crescatoare.


Fig. 25

Valoarea argumentului din acest punct il notam ca si mai inainte, t*. Inmultim ecuatia (3.38) cu t* si o inlocuim in (2.13). Rezulta,
x*/xo≥ exp{[2∙1,293/(3π)]k(t*)∙t*}
Pentru un regim allometric k(t)= B/t si
x*/xo≥ exp{[2∙1,293/(3π)]∙B}
.  (3.39)
Pe de alta parte aprecierea solutiei ecuatiei de tip nestabil in [partea de] sus ne-o da ecuatia cresterii allometrice fara intarziere:
dx/dt= (B/t)∙x.
De aici x= AtB si traiectoria acestei ecuatii nu o vor putea depasi regimurile allometrice cinstite, adica,
x*/xo≤ (t*/to)B.  (3.40)
Din (3.39) si (3.40) obtinem
exp{[2∙1,293/(3π)]∙B}≤ x*/xo≤ (t*/to)B
sau, dupa impartirea cu B,
t*/to≥ exp[2∙1,293/(3π)].  (3.41)
Pe masura ce τ se micsoreaza raportul varstelor dintre doua puncte critice tinde asimptotic catre marimea:
t*/to= exp[2∙1,293/(3π)]= exp0,274410631= 1,315754982  (3.42)
.  Astfel, doua regimuri allometrice succesive de tip stabil si nestabil, la mici intarzieri, isi vor recroi diapazonul varstelor, stabilit [valoric] de [catre] produsul rapoartelor (3.33) si (3.42), adica,
t*/to= ee∙ 1,315754982= 15,15426224∙ 1,315754982= 19,93929605  (3.43)
[vezi Fig. 25, (Kuzmin, 1985)]


Modelele critice ale modelului
dezvoltarii exponentiale

.  Este stiut ca in conditii interne si externe













mm

Mesaje : 166
Data de înscriere : 12/01/2011

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Sus


 
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum