Metode de rezolvare a ecuatiilor

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator In jos

Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  meteor la data de Dum Apr 12, 2015 10:31 pm

De ceva timp vreau sa clarific o metoda  care ar permite gasirea solutiei (exacte, pina ce in R) a o sumedenie de ecuatii (functii). Ce e inca mai captivant e ca analog cum in R metoda posibil s-ar putea de extins  si pentru C si cu mai multe variabile (dar incepe sa se complice extrem de mult) si poate alte aplicatii.

Ideea de baza este: Atunci noi cind calculam recursiv pasii de calcul numeric a ecuatiei(prin metoda tangentelor sau coardelor) noi pasim pe valorile particulare a unei functii asimptotice orizontale (ea depinde de valoarea initiala aleasa. Din acel interval admisibil al valorilor initiale  se pot construi o infinitate de asa functii asimptotice orizontale, toate avind un caracter comun - limita lor este o aceeasi constanta care si este solutia cautata).
Sunt doua mari probleme: 1. Sa gasim termenul general al sirului recursiv. 2. Sa calculam limita atunci cind n tinde la infinit.

Gasirea termenului general al sirului recursiv la fel se pare ca nu este o metoda pentru una din metodele alese (tangentelor sau coardelor).

Asa cum am inteles (gasiti wiki/Recurrence_relation) azi doar pentru anumite categorii de ecuatii recursive sunt anumite metode de calcul a termenului general.
(Daca vreti sa va jucati putin si sa verificati cele spuse puteti face asa [se refera la metota tangentelor]: scriem formula de recursivitate a metodei tangentelor si egalam cu o formula deja cunoscuta a recursivitatii unui sir, avem o ecuatie diferentiala de ordinul I si o rezolvam astfel gasim ce functie am aplicat, gasim intervalul unde se ascunde solutia, calculam limita lui n la infinit a acelei formule a  termenului general si astfel gasim solutia. Verificare: Avem functia, avem intervalul unde se ascunde solutia, calculam termenul general, calculam limita.)

Pareri de calcul al termenului general: 1. Posibil daca incercam sa facem locutiuni de variabila (sperante permamente am in functii trigonometrice... egalitatea Euler.. problema mileniilor...)
                                                 2. Traducem functia in alt sistem de coordonate, in asa sistem de coordonate construit in care aici functia studiata este o functie cunoscuta la care ii stim termenul general. Ce fel de sistem de coordonate sa fie si cum se aplica aici metoda tangentelor e doar ipoteza. Cert insa este caci se poate de incercat cu sisteme de coordonate bine studiate: polare, hiperbolice, bicentrale,.. dar aici lucrurile se complica mult.

Daca nu prea clar m-am exprimat (unora intradevar le poate parea foarte abstract) atunci voi raspunde la intrebari cind voi avea timp.

Daca apar cuiva ceva idei/ replici sunt binevenite.

meteor

Mesaje : 40
Data de inscriere : 11/04/2015

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  Admin la data de Mier Apr 15, 2015 2:03 am

.  Bine ai venit pe forum, @meteor!
.  Subiectul pe care il propui pare sa fie promitator. Deocamdata, din prima ta postare nu rezulta ca topicul initiat de tine este o tema de cercetare. O tema de cercetare de obicei incepe cu prezentarea subiectului (pe intelesul tuturor, nu numai a ultraspecialistilor), cu o documentare, etc. Din cate isi poate da seama un cititor obisnuit (nespecializat pe matematica), ceea ce ai prezentat pana acum este o intentie de cercetare si de aceea am mutat-o la rubrica Diverse. Daca vei avea timp si daca in postarile tale ulterioare vei aduce subiectul la o forma mai concreta (de tema de cercetare), voi readuce si eu subiectul la rubrica initiala respectiva.

.  O mica nedumerire din partea mea: ce inseamna "locutiuni de variabila"? In matematica ce s-a predat la universitati (fac. tehnice) nu am intalnit expresia aceasta.

Admin
Admin

Mesaje : 33
Data de inscriere : 12/01/2011
Localizare : Brasov

Vezi profilul utilizatorului http://cercetareromaneasca.forumgratuit.ro

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  meteor la data de Mier Apr 22, 2015 10:10 pm

Da ai dreptate. Eu personal is foarte pretentios atunci cind cineva posteaza iar eu nu il inteleg, ii cer orice lamurire la orice cuvin (de gradi) si il invinui ca posteaza stingaci.

Cu timpul, cu parere de rau e problematic ultima vreme la mine, o sa incerc in weekend sa fac mai explicit ceea ce am vrut sa spun.

Locutiuni de variabila poate nu este asa notiune in unele stiinte, eu am vrut sa spun: notatii, substitutii(iar cam neclar, ok o sa repostez mai tirziu).

Si o mica precizare, ce e scris de mine in acel mesaj nu e nimic complicat cit pare si e scris stingaci. Totul e simplu si facut de altii, eu doar vreau sa prezint ce probleme mai sunt de rezolvat, complexitatea lor, idei personale de rezolvare si aplicatii. la fel astept replici si meditatiile(ideile de solutionare) voastre. Aplicatiile cum am spus de mult si deseori, pentru adevaratii stimatori de mate sunt fara pret.

meteor

Mesaje : 40
Data de inscriere : 11/04/2015

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  mm la data de Joi Apr 23, 2015 10:26 pm

.  Din mesajul tau de pe Personal Mail, [ caci nimeni pina azi inca nu a intelesc pina la capat bine partea imaginara a numerelor compleze ] am retinut si raspund (doar ca parere personala) ca partea imaginara a numerelor complexe este totusi una "reala" dar din realitatea multidimensionala, realitatea multiversului. Adica, e f. posibil ca imaginarul numerelor complexe sa corespunda "lumii superioare", evident una multidimensionala, din care facem parte ca lume tridimensionala. Ca indreptare, ca indiciu fizic pentru ideea la care ma gandesc, iata un sait ce poate fi luat in considerare (chiar daca la scoala nu s-a vorbit despre conceptele respective):
http://www.bibliotecapleyades.net/ciencia/antigravityworldgrid/ciencia_antigravityworldgrid04.htm#The Mathematics Of The World Grid
http://www.bibliotecapleyades.net/ciencia/antigravityworldgrid/ciencia_antigravityworldgrid02.htm#The Planetary Grid: A New Synthesis

.  E vorba despre niste concepte neobisnuite, ce-i drept, dar mie mi-au atras atentia prin aceea ca timpul este considerat o asemenea retea (grid). Existenta lumilor in linii de timp diferite este explicata tocmai prin aceasta curgere de rauri de timp si retele de rauri de timp. Evident, aceste sintagme suna neobisnuit pentru urechile noastre insa merita a fi studiate pentru cine are timp de meditatie.

.  Referitor la topicul inceput de tine, poate ar fi bine sa postezi niste exemple de calcul, de rezolvare a ecuatiilor, aplicatii, asa cum le vezi tu. Deocamdata, la consideratiile generale pe care le-ai facut pana acum in cadrul prezentului topic, eu nu am comentarii sau pareri concrete. χ


Ultima editare efectuata de catre mm in Sam Mai 02, 2015 9:10 pm, editata de 1 ori

mm

Mesaje : 157
Data de inscriere : 12/01/2011

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  Admin la data de Lun Apr 27, 2015 1:09 pm

meteor a scris: Formula la metoda tangentelor asa arata: (cum sa activez HTML, cum sa scriu formulele de pe codecogs.com?!)

. Am activat HTML. Vei putea reveni la mesaj si sa faci modificarile dorite. In felul acesta va intelege toata lumea formulele scrise de tine.

. Ca parere personala, spui lucruri interesante. Este intr-adevar o metoda a aproximatiilor succesive. Nu stiu suficienta matematica pentru ca sa pot face aprecieri mai exacte, respectiv nu stiu daca metoda ta este /sau nu/ o inventie in matematica.

Admin
Admin

Mesaje : 33
Data de inscriere : 12/01/2011
Localizare : Brasov

Vezi profilul utilizatorului http://cercetareromaneasca.forumgratuit.ro

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  meteor la data de Lun Apr 27, 2015 8:44 pm

Nu merge. La previzualizare merge totul ok, insa atunci cind dau mesajul la trimitere nu afiseaza formulele. Am mai observat ca de fiecare data dupa reinore (dupa previzualizare sau trimitere bifa se pune automat pe butonul "Dezactiveaza codul HTML in acest mesaj"), Spune tu poate o sursa mai usoara de redactare a mesajelor, eu folosesc codecogs.com


Despre cele scrise, eu cred ca nu e nimic minunat. Doar denumiri pompoase care va sperie pe totiii. E simplu de inteles cele spuse , cu parere de rau prin mod text e greu sa ma exprim si sa va prezint mai clar ceea ce vreau sa spun, deaceea poate si va este greu de inteles.

meteor

Mesaje : 40
Data de inscriere : 11/04/2015

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  Admin la data de Mar Apr 28, 2015 5:33 pm

. Ai dreptate, HTML nu merge desi l-am activat. Deocamdata nu stiu ce trebuie facut, o sa caut rezolvarea dar e posibil sa dureze ceva vreme.

Admin
Admin

Mesaje : 33
Data de inscriere : 12/01/2011
Localizare : Brasov

Vezi profilul utilizatorului http://cercetareromaneasca.forumgratuit.ro

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  meteor la data de Sam Mai 02, 2015 12:08 am

Am gasit o varianta de solutionare.
La HTML asa faceam cu editorul online , plecam la siteul http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=en-en in acea fereastra scriam formula, iar jos copiam codul HTML.

Acum asa trebue facut  [ img]http://latex.codecogs.com/gif.latex? FORMULA LAtex[/img]

Ex: vrem sa scriem xn+1
in HTML: < img src="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n&plus;1}" title="x_{n+1}" />
in BBcode:  [ img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{n+1}[/img]
(am lasat intentionat spatiu dupa paranteza ca cititorii sa inteleaga ce vreau sa zic)


.  (Nu imi place sa repet una si aceeasi, deoarece am mai scris undeva pe tema cutare. La dorinta lui mm scriu, daca mai trebue detalii nui nici o problema)

Stim caci exista citeva metode de calcul numeric (cine nu stie sa se documenteze mai bine, aici doar ceva reamintesc).

Aici voi atrage atentia la metoda tangentelor si coardelor caci doar pe ele le vad ca se pot pune in aplicatii (metoda bisectiei nu ii vad aplicabilitatea).

Aceste metode de calcul numeric au o formula de forma recursiva, la care termenul posterior depinde strict de termenul anterior. Termenul initial se cunoaste. Astfel noi tindem sa aproximam tot mai mult solutia cautata pe cutarele interval analizat (adesea se noteaza cu [a,b]).
Formula la metoda tangentelor asa arata:
formumula la metoda coardelor:
Aceste formule eu le mai numesc formulele Flotantelor.
Flotanta - este o functie care contine f(x) si un indice (al recursivitatii) care recursiv permite gasirea solutiei.  Nu incurcati cu Harmonica, caci harmonica determina termenul general al sirului (a ecuatiei recursive).
Prin e  s-a notat extremitatea fixa care este una din valorile a sau b
ea se determina in cazul daca:
Cealalta valoare va fi numita ca aproximare initiala a solutiei sau eu ii mai zic valoarea initiala x0.

Ce inseamna derivata unei functii?! Din ce cauza derivata unei functii (ce indeplineste conditiile de derivabilitatea) tot este o anumita functie (doar in un singur caz este functia insusi e vorba de exponentiala ex) este tot o functie ?!
Derivata caracterizeaza cum are loc procesul crestere a ratei dintre valoarea funcției atunci când se modifică argumentul.

Analog acele formule de calcul numeric descriu si ele niste functii. Aceasta e foarte important moment care spun.
Ca sa intelegeti, experimentati cit mai mult, faceti mai multe exercitii.
Iata, luati o anumita functie care indeplineste conditiile ca se poate aplica la una din cele 2 metode mentionate de mine mai sus, gasitii intervalul unde se ascunde solutia, si incepeti sa calculati recursiv x1,x2,...,x10 (cine vrea poate mai multe puncte sa extinda).
Acum construim un sistem ortogonal de coordonate la care valorile de pe axa ordonatelor(y) vor fi:
iar axa abciselor (axa x) se vor pune:
Construim punctele acestea si le unim aproximativ cu o curba care le uneste. Ce iese?! O asimptota orizontala care tinde spre solutia noastra cautata.

Luati acum punctul de extremitate fixa o alta valoare (dar sa respecte cerintele caci aplicind metoda cutare ajungem la aceeasi solutie de care am studiat acum mai sus). Si la fel procedati cum am spus, gasiti vreo 10 valori a termenilor succesivi si in acelasi sistem (sau un alt sistem) pentru axa y dam aceste valori, iar la axa x dam valorile indicilor. Ce vedem?! Vedem o asimptota orizontala limita care tinde la solutia noastra cautata. Aceasta asimptota seamana cu cea analizata mai sus doar ca poate fi putin mai sus sau jos sau putin-putin modificata.

Asta se studiaza caci determinind care va fi acea asimptota din care reesa din una din cele doua formule, aruncind apoi o limita la infinit noi gasim solutia precisa a ecuatiei.

Aceasta functie asimptotica mai este numita si termenul general al sirului recursiv, eu ii spun asa o denumire (inventata la dorinta de nenea meteoru' Very Happy, am dorit ceva un h vechi grecesc, dar  nu este ) de functia harmonica si asa o notez cu un h de n sub h fiind indecele f(x)  adica Harmonica functiei f(x), notam:
Solutia ecuatiei pe intervalul [a,b] este:  

Eu cum am mai spus nu is mare matimatician si stau chiar rau cu aritmetica, deaceea cam slab cu exemplele. Va dau niste  exemple de gradi.
Iata sa luam metoda tangentelor.
Fie avem o functie  sa ii gasim solutia ei (pe intervalul [-3;3] aplicind metoda tangentelor).
Intii de toate trebue sa ii determinam functia harmonica, iar apoi sa calculam limita la infinit in final obtinem solutia cautata.
scrim formula tangentelor (adica fie Flotanta va fi formula tangentelor) si incepem succesiv sa determinam termenii x1,x2,x3,.. Vom observa (din start cind vom face Flotanta, adica: ramine acelasi la fiecare iteratie n fractia 2/3 creste cu o putere.
Deci termenul general al sirului recursiv:
este:
Sau altfel spus:
Iar solutia: intradevar este solutia functiei pe intervalul de valori analizat (admisibil).

Daca vom continua sa calculam harmonicele la functiile de genul
vom observa ca ele au forma:
(din cauza ca extremitatea fixa se noteaza cu e ca atare ar fi mai bine sa o aplicam si asa trebue sa arate:
si limita lui lambda la infinita da valoare Harmonicii sa fie 0. Intradevar toate aceste categorii de functii trec prin origine deci au solutia 0.

Aceasta a fost exemplu de gradi.
De exemplu sirul recursiv Fibonaci invatatii i-au gasit  Harmonica acestei functii care e ceva mai evoluat ca exemplul cel de la gradi.

Eu nu am calculat limita silrului (cu toate ca nu e strict crescator) dar se vede la mintea cucosului ca e infinita.
Similar de exemplu are o forma si Harmnica numerelor Pell.
Ce vreau sa spun este caci determinarea flotantei e greuti si are o forma foarte diocheata.
Cu sirul Fibonaci nu e interesant ca aici nu merge vorba de solutii.

Iata care e interesat si vrea sa evolueze isi poate face asa o joaca (atentie!! acestea scrise mai jos mai necesita ceva sa ma mai gindesc caci ceva nu iese ok chir daca aplic in wolfram alpha. Cert este ca:
Stiindu-se Flotanta si fiind egalata cu Harmonica (o dam noi la dorinta care dorim) sa se determine functia insasi f(x). De indata ce se afla f(x), am mai zis... gasim un interval unde ar putea sa se ascunda solutia, aruncam o limita harmonicii acestei functii si daca limita harmonicii se potriveste cu solutia inseamna ca eu nu va zic povesti, asa un exemplu pornit la nimereala:
Avem flotanta ( lucram cu metoda tangentelor):

Presupunem ca ii cunoastem deja Harmonica (daca va jucati construiti la dorinta o functie).
Adica:
, acum se pune problema determinarii cine este f(x) si f(e) (valoarea lui f(e) este o constanta nedeterminata inca [caci nu stim cine e f(x)], deoarece e este o constanta). In asa fel cica am ajuns sa rezolvam ecuatii diferentiale.
Scriem formula tangentelor si o egalam cu harmonica ce o alegem, in wolfram alpha, iar la  meniul "Differential equation solution"
vedem care este functia cautata.
Am aruncat niste exemple pe wolfram, doar ca nu stiu in ecuatiile diferentiale cum se afla acea constanta c1 particulara.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D%283x%5E2-2x%29%2F%282x%5E2-3%29
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D3%2F%28x-1%29-2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D2%2Fx
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28xf%27%28x%29-f%28x%29%29%2Ff%27%28x%29%3D3%2F%28x-2%29
Observam ca rar gasim caz cind si harmonica si funcitia sa aiba o forma simpla.

Azi m-am gindit ce sa ne complicam noi cu ecuatiile diferentiale (vorbesc despre joaca cu alcatuitul harmonicilor si determinarea apoi functiei), daca noi aplicind metoda tangentelor lucrurile par foarte simple.
Ia priviti:
Din aceasta ecuatie trebue sa aflam cine este f(x) si f(e), acesta din urma se determina indata daca se cunoaste cine este f(x). Deoarece e este o constanta la fel si f(e) va fi o constanta si fie o notam cu k.
Asa tip de ecuatii eu nu stiu cum se chiama si rezolva oficial azi, eu le-as boteza: ecuatii diferentiale de ordenul 0 (deoarece derivata lui f(x) este de ordenul 0 in acea ecuatie).

Si pentru verificare a ceea ce am spus pina acum, aveti functia, aveti harmonica ei, aruncatii o limita si va veti verifica daca limita harmonicii corespunde cu solutia cautata.

Similar cred ca se face si pentru ecuatii cu mai multe variabile in R si in C. Acolo presupun ca vom avea plane curbate in spatiu la care se duc plane drepte de la unu la celalta extremitate, la intersexia cu planul axei abciselor se gaseste noua aproximatie. Treburile acestea mie imi sunt foarte complicate.

Sisteme de coordonate eu cred ca sunt o infinitate: Hiperbolice, parabolice, circulare (i se mai spun polare), eu mai propun: exponentiale-logaritmice(in R sistemul functioneaza cu cadranele I,II,IV), sinusoidale,  etc. Adica se pot constru sisteme de coordonate  la dorinta in dependenta de ce functie noua ne convine asa incit sa putem rezolva problema mai usor. Fie directa in noul sistem ecuatia sa fie mai usor rezolvabila, fie in noul sistem determinarea harmonicii si limitei ei sunt mai usoare.

meteor

Mesaje : 40
Data de inscriere : 11/04/2015

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  meteor la data de Sam Mai 02, 2015 12:19 am

O mare importanta cred ca are anume analiza metodelor cum s-au gasit Harmonicele la multe functii din ziua de azi (Fibonacci, Pell, o multime inca poate). Daca intilnim o ecuatie, nu e rau de incercat aplicarea macar analoaga daca directa nu merge a artificiilor care s-au aplicat deja dupa cum am spus.

O importanta si mai mare cred caci are anume ca azi se stie cum sa se rezolve Harmonicele la o mare categorie de functii. Ia va rog priviti linkul: http://en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation si anume la " Solving via linear algebra " si " Solving with z-transforms".
Ambele metode nu imi sunt clare, dar nici timp sa le dedic la studiu nu am. Cine are timp poate sa treaca sa lamureasca.

La fel orice replica sau idee este binevenita.

meteor

Mesaje : 40
Data de inscriere : 11/04/2015

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Metode de rezolvare

Mesaj  mm la data de Sam Mai 02, 2015 9:01 pm

. Splendid! Ai rezolvat minunat problema editarii formulelor. Da, acuma putem intelege f. bine metoda ce o propui. O sa-mi fac ceva timp sa deschid niste carti de matematica (ratacite prin biblioteca mea) referitoare la problema asta.

mm

Mesaje : 157
Data de inscriere : 12/01/2011

Vezi profilul utilizatorului

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  Admin la data de Vin Mai 08, 2015 2:47 am

.  Am despartit subiectul in doua si partea de calcule matematice am mutat-o la forumul "Studii teoretice", considerand ca se incadreaza bine acolo. Din lipsa de indemanare am pierdut mesajul tau, @meteor, din acest topic si am fost nevoit sa-l "lipesc" la mesajul tau din 1 Mai. Deci mesajul tau cu calculele apare in ambele topicuri, atat in acesta (cel vechi) cat si in cel nou creat de mine.

Admin
Admin

Mesaje : 33
Data de inscriere : 12/01/2011
Localizare : Brasov

Vezi profilul utilizatorului http://cercetareromaneasca.forumgratuit.ro

Sus In jos

Re: Metode de rezolvare a ecuatiilor

Mesaj  Continut sponsorizat Astazi la 3:34 pm


Continut sponsorizat


Sus In jos

Vezi subiectul anterior Vezi subiectul urmator Sus


 
Permisiunile acestui forum:
Nu puteti raspunde la subiectele acestui forum